非线性Duffing系统主共振的多稳态响应

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　　对于一个含刚度非线性的Duffing系统(下式)，当系统的激励频率在该系统对应的固有频率附近发生变化时，系统的振动幅值会随频率的变化发生大幅跳跃，且升速与降速时振动跳跃方向不尽相同，造成这种现象的原因在于一个确定的Duffing系统，在稳态运动下会有存在多个吸引域，当系统初值不同时，可能被吸引到稳态响应也会不同，即存在多稳态响应。

　　其中：

　　运用多尺度法，我们可以得到系统的近似解及振幅和相位随着慢时间尺度的变化关系。当时间足够长时，系统趋于稳态，振幅及相位对慢时间尺度的导数变为0。运用此关系，我们可以得到稳态下系统的振幅、相位与激励频率的关系，如图(a)、(b)所示。

　　(a)刚度硬化(非线性刚度为正值)

　　(b)刚度软化(非线性刚度为负值)

　　对于这种一个频率对应多个振幅与相位的情况，我们可以采用龙格库塔法，对系统的永年项关系采取几组不同的初值(a，φ)画出该关系的相图，可以很好地解释这种现象。如图(c)所示

　　(c)主共振系统的多解现象

　　(d)主共振幅频跳跃现象

　　由结果可知，系统的稳态振幅和相位与初始值的选取有很大关系，对此可讨论如下：

　　1、图(c)中P1、P2、P3为3个奇点，对应于频响曲线上的3个稳态运动，其中P1、P3为焦点，P2为鞍点;

　　2、自阴影区任一初始状态出发，系统状态将最终被吸引到P1;而位于非阴影区的初始状态将最终被吸引到P2。这表明了频响曲线的上、下两个解支是渐近稳定的。

　　3、只有恰好位于两区域分界线上的初始状态才可能被吸引到P2，一旦受到偏离分界线的小扰动，其状态就会被吸引到P1或P3。所以，频响曲线的中间解支是不稳定的。

　　如上分析，在主共振幅频响应的多解频带上有两个渐近稳定解和一个不稳定解。由于在实验中只能实现渐近稳定运动，所以，在简谐慢扫频激励实验中，对渐近稳定运动的跟踪只能按图(d)箭头所示的路径进行，从而产生图示的跳跃现象。

　　参考文献：
　　[1] 唐友刚. 高等结构动力学[M]. 出版地: 天津大学出版社.
　　[2] 胡海岩. 应用非线性动力学[M]. 出版地: 航空工业出版社.

　　来源：转载自漫步力学公众号，原文来自天津大学，作者：高天