周期与非周期强迫振动解析

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　　周期强迫振动

　　模型简化依据：非简谐的周期激励在工程结构中的振动中大量存在，一般地，如果周期激励中的某一谐波的振幅比其他谐波的振幅大得多，大多可以作为简谐激励;反之，则周期激励。

　　求解方法：一般周期激励下系统的响应问题需要将激励展开为Fourier级数，分别求出各个谐波引起的响应，再利用叠加原理得到系统的响应。

　　周期函数展开为傅立叶级数的物理意义：把一个比较复杂的周期激励看成是许多不同频率的简谐激励的叠加。

　　一、Fourier级数
　　定理：设周期为T的周期函数f(t)满足收敛定理的条件，则它的傅立叶级数展开式为

　　其中系数an，bn利用三角函数的正交性求出：

　　周期激励函数一般都满足收敛定理的条件，都可以展开为如下形式的傅立叶级数：

　　其中

　　二、谐波分析
　　频率ω称为基本频率，简称基频;对应于基频的简谐分量，称为基波;对应于频率为2ω，3ω的简谐分量称为二次谐波，三次谐波，等等。

　　谐波分析法基本思想：
　　首先，将周期激励分解为一系列简谐激励之和。然后，求出系统对各个简谐激励的响应。最后，由线性系统的叠加原理，将每个响应叠加起来，即得到系统对周期激励的响应。
　　1. 周期激励的处理
　　将f(t)展成Fourier级数：

　　其中的第p项为：

　　对应的响应为：

　　2.求解
　　振系在简谐激励f(t)=ancosnωt与f(t)=bnsinnωt分别作用下，相应的强迫振动可依次表示为

　　3.组集总响应
　　根据线性系统的叠加原理

　　三、结论
　　系统的稳态响应也是周期函数，其周期仍然为T，并且激励的每个谐波都只引起与自身频率相同的响应，这是线性系统的特点。

　　在周期激励中，只要系统的固有频率和激励中的某一谐波频率接近就会发生共振，因此，对于周期激励，要避开系统共振区比简谐激励要困难。通常使用适当增加系统阻尼的方式来减振。

　　非周期激励作用下的强迫振动

　　非周期激励作用的特点：
　　      · 作用时间短
　　      · 峰值大

　　非周期强迫振动求解：
　　      · 脉冲响应函数法
　　      · 傅里叶变换法
　　      · 拉普拉斯变换法

　　一、周期激励与响应的特点
　　激励力无论是外界力或是支座的位移，我们都假定其函数要么为简谐，要么可以通过Fourier级数展成一系列简谐函数的和。

　　振动系统对周期激励的响应通常指系统的稳态强迫振动响应，是按照激励频率(可以是单一的，亦可以是一系列)进行的周期振动。

　　二、非周期激励与响应的特点
　　在许多实际问题中，对振动系统的激励往往不是周期的，而是任意的时间函数，或者只是持续时间很短(相对于振动系统固有周期)的冲击。

　　举例：车辆越障，瞬时冲击。

　　相应地，瞬态激励引起的系统振动响应持续时间也不长，但响应的峰值往往很大，使结构产生较大应力和变形。

　　振动系统通常没有稳态运动，只有瞬态振动。在激励消失后，振动系统进行阻尼自由振动，即所谓的剩余振动。振动系统在任意激励下的运动，包括剩余振动，称为振动系统对任意激励的响应。

　　三、非周期强迫振动求解(时域法)
　　此方法亦为——脉冲响应函数法，解决问题的思路：
　　      · 把非周期激振力看作是一系列作用时间极短的脉冲分力的叠加;
　　      · 在脉冲力作用下的响应— 应用动量定理;
　　      · 总响应— 叠加原理。

　　1. 脉冲力定义
　　如果F(t)的幅值很大，但作用时间很短，那么冲量：

　　仍然为通常的数量级，这种力称为脉冲力。

　　通常硬物体之间的碰撞力、闪电、电容瞬间的放电(照相机的闪光灯)都具有脉冲力的类似性质。

　　如果F(t)的作用时间为(2ε，ε)(为任意非负实数)，即当t>ε和t < 2ε时，F(t)=0，在这过程中，动量的改变量：

　　上式的物理含义：物体所受的冲量等于物体动量的改变量。这种描述称为状态描述。

　　2. Dirac函数
　　一般，我们对脉冲力的作用过程不太关心，而关心它产生的后果。

　　为了能在理论分析中更好的体现脉冲力的性质，在数学上用Dirac函数来表示脉冲力，通常又称作δ函数。

　　在τ时刻的脉冲力可以表示为：

　　利用δ函数，在任意时刻τ作用的脉冲力可以表示为：

　　这里 是一个常数。上式的物理意义：在τ时刻的一个力值无限大，但作用时间为0的脉冲力，其冲量为：

　　Dirac函数性质：

　　Dirac函数有一个重要性质：如果F(t)是一个连续函数，则：

　　在某些文献上，该式作为Dirac函数定义的一部分，又称为Dirac函数的筛选性。

　　3. 单自由度系统的脉冲响应
　　设单自由度系统在t=0以前静止，在t=0受到脉冲力：

　　系统微分方程为

　　根据动量定理：在0&#8314;到0&#8315;这段时间系统的动量改变：

　　在t=0时的脉冲力作用下，系统速度由

　　变成

　　而系统的位移没有变化(或者说，位移的变化 ，0<c<1是小量）


　　当t>0后，系统不受外力，自由振动。系统受到脉冲力作用后的运动微分方程：

　　它的解为：

　　这就是初始时刻静止的系统在t=0时刻受到脉冲力 作用后的响应。


　　4. 系统单位脉冲响应函数
　　系统受到单位脉冲力作用，此时系统的响应称为系统单位脉冲响应，简称系统脉冲响应，用h(t)表示：

　　显然，在t=τ以前静止的系统在t=τ时，受到一个单位脉冲激励后的响应为：

　　把非周期激振力f(t)看作是一系列脉冲力的叠加：

　　t=τ时刻的脉冲力：

　　该脉冲力的响应：

　　系统在t时刻的响应：

　　令Δτ→0，求和变成积分：

　　如果系统初始条件不为零，即：

　　系统总的响应为 ：

　　5. 脉冲响应的意义
　　系统的脉冲响应由系统本身的物理性质决定，反映了系统的振动特性。

　　实例：锤击法

　　在振动试验中，有一种方法叫做锤击法。用锤头带有力传感器的锤子敲击被测的结构，力传感器测出敲击的力信号，装在结构上的加速度传感器测出结构的加速度响应信号，把测出的力信号和加速度信号经过处理，可以求出系统的振动参数。如固有频率，阻尼比等。锤击法测试速度快，所需设备少，便于现场测试。

　　四、非周期强迫振动求解(频域法)
　　此方法亦为——Fourier变换方法。前面讲述的方法都是直接在时域中求解微分方程，得到是系统的时间响应历程。

　　对于一个振动问题，可以用Fourier变换在频率域内分析激励频谱，响应频谱以及系统特性的频率域描述之间的关系。

　　周期激励的频谱图

　　      · 频谱——是信号中各频率分量按频率高低依次排列的总体。
　　      · 幅频——是信号中各频率分量的幅值与频率之间的关系。
　　      · 相频——是信号中各频率分量的相位与频率之间的关系。

　　时域描述

　　频域描述

　　周期激励的傅里叶级数的复数形式为：

　　非周期信号：T→∞

　　谱线之间的频率间隔

　　离散频谱中相邻的谱线无限接近，离散频谱成为连续频谱。

　　离散变量nω0变成了连续变量ω，求和运算就变成了求积分运算，于是得：

　　1. Fourier(正)变换

　　称F(f)，F(ω)为f(t) 的傅里叶变换或傅里叶积分。

　　2. Fourier(逆)变换

　　称f(t) 为F(ω)的傅里叶逆变换，两者互为傅里叶变换对，即

　　3. 傅里叶变换对
　　f(t) ，F(ω)构成傅里叶变换对

　　记为

　　4. 傅里叶变换的常用性质
　　(1) 线性叠加性
　　若x(t)和y(t)分别有傅里叶变换为X(f)、Y(f)，则

　　(2) 时移特性
　　若

　　则

　　即把时域信号沿时间轴平移一常值t0，则使其频域引起相应的相移2πft。

　　(3) 卷积特性
　　两个函数x1(t)和x2(t))，定义

　　为函数x1(t)与x2(t)的卷积，记作x1*x2(t)
　　若

　　则

　　(4) 能量积分(巴什瓦等式)
　　若

　　则

　　在时域中计算的信号总能量等于在频域中计算的信号总能量。

　　5. 用Fourier变换求解的条件
　　      · f(t)在任意有限区间内都只有有限个第一类间断点;

　　      · f(t)在(- ∞，+∞上绝对可积：

　　      · 系统的初始条件是静止的，即初始条件为零。


　　来源：节选自北京科技大学机《单自由度系统》讲义
　　作者：王文瑞博士，副教授