模态参数识别的几种频域方法

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　　分量分析法

　　将频响函数分成实部分量和虚部分量进行分析。

　　基本公式和主模态概念
　　N自由度结构系统结构，p点激励l点响应的实模态频响函数

　　等效刚度与测点与激励点有关

　　1. 主模态：
　　当趋于某阶模态的固有频率时，该模态起主要作用此时起主要作用的模态成为主导模态，或叫主模态。

　　主模态附近频响函数，若模态密度不很大，各阶模态比较远;则其余模态频响函数在该主模态附近较小，且几乎不随频率变化，因此在第r阶模态附近可用剩余模态表示频响函数。

　　剩余模态的实部与虚部

　　2. 实频图与虚频图

　　第r阶模态的频响函数

　　(a)实频图;(b)虚频图

　　剩余模态与频率无关，在实频图和虚频图上相当于将横坐标平移一距离，此平行线又名剩余柔度线。

　　模态参数的确定
　　1. 固有频率的确定
　　实频线与剩余柔度线交点确定、虚频线的峰值确定(峰值较尖，确定容易)，因为剩余柔度尺寸无影响，因此用虚频峰值确定更好。

　　2. 阻尼比gr 或ζr 的确定
　　用半功率带宽来确定

　　结构阻尼系统阻尼比系数

　　粘性阻尼系统阻尼比系数

　　模态振型的确定
　　对 主模态(不含剩余柔度)

　　测出L个测点的 值(l=1，2，3，…，L)

　　单点激振时- φpr/Krgr为常数，所以上式即为模态振型。

　　对激励点归一化的振型φpr=1

　　模态刚度的确定
　　取原点频响函数且对原点归一化

　　模态刚度

　　模态质量的确定

　　分量分析法的特点：
　　      · 简单方便，许多信号分析仪有实虚频图分析能力;
　　      · 当模态密度不高时，有一定的精度;
　　      · 峰值有误差时，直接影响辨识精度;
　　      · 模态密集时，用半功率带宽确定模态阻尼，误差较大;
　　      · 模态密集时剩余模态不能用复常数表示，辨识精度受影响;
　　      · 图解法受图解精度的影响。

　　导纳圆辨识方法

　　基本方法
　　      · 在共振峰值附近取6-10个频率点;
　　      · 用它们拟合Nyquist导纳圆图;
　　      · 拟合方法是理论圆上的数值与实测值之间的误差最小;
　　      · 根据导纳圆特点辨识模态参数;
　　      · 相邻模态耦合较松忽略剩余模态时多自由度系统第r阶模态附近可按单自由度处理，近似公式如下：

　　固有频率
　　圆上使Δs/Δω具有最大值的点

　　位移导纳图

　　模态振型
　　p点激励l点响应的位移导纳虚部的大小为导纳圆直径，由各测点导纳圆半径组成的归一化向量组成。

　　模态阻尼
　　根据导纳圆几何关系即可求出

　　导纳圆求模态阻尼

　　模态刚度
　　取原点频响函数，对原点归一化：φpr=1。

　　求出原点导纳圆半径后由

　　此时有

　　即

　　模态质量

　　多自由度多模态情况
　　导纳圆有多个，不一定是整圆。根据各段圆弧拟合各导纳圆，如图有三个模态的固有频率。

　　多自由度系统导纳圆

　　导纳圆方法的优缺点：
　　      · 不仅利用频响函数峰值信息;
　　      · 同时利用附近很多点的信息;
　　      · 没有峰值信息也可求出固有频率;
　　      · 此法任建立在主模态基础之上，模态密集时误差较大;
　　      · 精度受图解精度限制;
　　      · 许多仪器都能显示导纳圆图。

　　正交多项式曲线拟合

　　基本思想
　　计算机方法，构造多项式传递函数

　　式中：n=2N，m=n-2，s=jw


　　测得L个频率点的频响函数，构造理论值和测量频率点值的误差，使误差值最小求得多项式的系数，得到拟合的频响函数。

　　极点：令分母多项式为零，此时的s为极点，由极点可求的固有频率和阻尼比

　　留数(振型)：

　　参数辨识的关键间题是如何使频响函数的实测值与理论值之间的总方误差最小，即进行搜索，寻找一个使目标函数最小的最优值。若第j个频率点ωj处的频响函数值以Hj表示，而实测到的值用 表示，则误差εi可表示如下：

　　由于Hj的表达式中，其分母含有待辨识的固有频率与模态阻尼比，因而εi按其本质来说，对待辨识的参数是非线性的。假若我们构造一个误差函数ej，使ej与待识别参数成线性关系，进而进行最佳搜索，则为线性优化方法，本节所述即为线性优化方法之一。

　　1. 频响函数的有理分式多项式由式
　　由式

　　传递函数矩阵H(s)可表示如下：

　　阻抗矩阵Z(s)的阶次为N×N，其中第i行，第j列的元素Zij为

　　可见阻抗矩阵Z(s)的行式列的展开式中s的最高次n=2N，可表达如下

　　传递函数矩阵H(s)式中的adjZ(s)为Z(s)的伴随矩阵，即Z(s)的代数余子式矩阵的转置矩阵。其元素s的最高阶次m将比n少2。因此传递函数矩阵中第l行，第p列的元素为

　　将上式分子，分母各除以bn，且令

　　则

　　其中dn=1。

　　我们用FFT分析仪进行频响函数测量，则s=jw。上式可进一步表示为

　　2. 以正交多项式分别对分子、分母进行曲线拟合
　　若被拟合的测髦频率点数为L，引入负频率概念，使ω为ω-L ，… ω-1，ω1，… ωL，共2L-个频率点，且令

　　对频响函数的实验值以 表示，则

　　为书写方便，省去角标lp，引人理论模型值与测量值之间误差ēi

　　为使误差对系数ck，dk线性化，对上式进行变换得

　　定义总方差为

　　式中E=(e-L 、… e-1，e1， … eL)^T，角标H表示共轭转置。

　　可见，误差向量E可表示为

　　为求得J的极小值，可使J对矢量C和D求偏导为0

　　由式E=PC-QD-W 可得，

　　式中：

　　若P(jω)和q (jω)满足下列条件：

　　则式

　　中的矩阵Y和Z将变为单位矩阵

　　展开上式，分别求得D和C

　　满足P(jω)和q (jω)的条件，实际上就是使pk( jω)和qk(jω)(K = 0, 1，…)为正交多项式。从而使

　　的系数矩阵的对角线为单位矩阵。列向量C及D能单独求解，且方程的阶次几乎是其一半，从而降低了系数矩阵的条件数，使病态问题有所改善。这就是采用正交多项式进行曲线拟合的好处之一，且C 、D分别求解，系数矩阵阶次较原有的低一半左右，因而运算速度明显加快。

　　3. 极点和留数
　　在已知分子、分母多项式系数后，令分母多项式为零，此时的s值，即为极点，由极点值可进一步求得固有频率和阻尼比。

　　P点激励，l点响应的传递函数Hlp(s)可表示为：

　　式中Alpr为Hlp(s)在极点sr的留数，在已知极点的情况下，把上式两边各乘以(s—sr)，并令s—sr，则

　　式中，D为D(s)对s的一阶导数，同理，可求得

　　4. 剩余模态的影响
　　上述公式只适用于待识别的模态数与系统的自由度数相一致的情况。实际结构往往并非如此，除了模态稀疏的情况下，仍可应用上述计算步骤外，一般均需考虑待辨识频段以外的模态影响，即所谓剩余模态的影响。

　　Richardson曾用增加分子多项式阶数的办法来解决这个问题。若在待辨识的频段内，包含两个模态峰值，分母多项式阶数n取为2N = 4 ，而分子多项式阶数取为m=2N+3=7，当然也可增加分母多项式的阶次，同样可以取得较好的效果。

　　5. 关于总体曲线拟合
　　在单点频响函数测试时，往往是一点激励，再测量原点及其余各点响应。大多数曲线拟合是在“局部”意义上进行的，也就是说，在一组测量中，每个测量单独地进行曲线拟合，对每一模态进行模态频率、阻尼和留数的估计，因此，每个模态要估计四个参数(计算复留数作为两个参数)，若有五个模态的参数需被辨识，那么，总共有20 个未知参数需被估计。一般而论，精确地估计阻尼和留数比精确地估计频率更难，而留数义总是和阻尼估计紧紧地联系在一起的。若阻尼有较大误差，势必导致留数估计有较大误差。

　　为了减少误差，可以把曲线拟合过程分为两个步骤：
　　      · 第一步，估计频率和阻尼，不同测量点的同一模态的固有频率和阻尼应是相同的。故借助所有测量数据，先求得固有频率和阻尼;
　　      · 第二步，用已知的频率和阻尼值，进一步分别估计振型或留数。这种估计过程，我们称为总体曲线拟合。

　　总体曲线拟合的优点是借助所有测量数据，这比从单个测量的曲线拟合能得到更精确的频率和阻尼的估计。再因阻尼是作为第一步拟合的结果，是已知的，所以，通常在第二步估计中能更精确地估计留数。

　　总体频率和阻尼的直接估计方法可如下进行：因为同一模态，不同测点的频响函数，其表达式的分母均一样，因而可以把所有测点的频响函数进行平均，然后以此平均的频响函数求得总体频率和阻尼。

　　来源：《模态参数辨识的频域方法》
　　作者：张永强高级工程师 靖江泰斯特电子有限公司、西北工业大学振动工程研究所