理想弹性体(弦、杆、轴、梁)的振动分析

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　　连续系统是由弹性体元件组成的，以下我们讨论理想弹性体的振动。所谓理想弹性体是指满足以下三个条件的连续系统模型：
　　      · 均匀分布
　　      · 各向同性
　　      · 服从虎克定律

　　弹性体具有分布的物理参数(质量、阻尼、刚度)，弹性体的空间位置需用无数多个点的坐标来确定。也就是说，弹性体具有无限多个自由度。

　　通过对一些简单形状的弹性体的振动分析，将会看到：任何一个弹性体具有无限多个自然频率以及与之相应的主振型，这些主振型之间也存在着关于质量和刚度的正交性。弹性体的自由振动也可以表示为各主振动的线性叠加，对于弹性体的动响应分析主振型叠加法仍然是适用的。

　　弦的振动

　　波动方程
　　设理想柔软的细弦张紧于两个固定点之间，张力为T跨长为l，弦单位长度的质量为ρ，两支点连线方向取为x轴，与x轴垂直的方向取为y轴，如图1。

　　设弦的振动发生在xoy平面内，弦的运动可表示为y= y(x,t) 。并假设弦的振动幅度是微小的，即y与∂y/∂x均为小量;在这些假设下，弦的张力T可近似地看作常量。再设重力与阻尼的影响均可略去不计。

　　在自由振动中，弦的微元dx的受力图，如图2，运动微分方程为

　　故有

　　整理得

　　亦称为波动方程。其中c就是弹性波沿弦向的传播速度。

　　式中

　　弦的运动还必须满足边界条件

　　特征方程
　　描述弦振动的函数y(x,t) 可以分解为空间函数与时间函数的乘积，即

　　其中X(t)是振型函数，它表示整个弦的振动形态，而Y(t)表征点的振动规律。将上式代入

　　可得：

　　要使上式对任意的x与t都成立，必然是二者都等于同一个常数。设这一常数为α，得如下两个常微分方程

　　取α≡-ω2。于是，上述方程可改写为

　　可解得

　　其中C 、D为积分常数，另外，由边界条件得

　　得

　　这就是弦振动的特征方程。由此可确定一系列特征值

　　与此相应，可确定一系列特征函数，亦称振型函数。

　　与各个特征值相对应，可确定系统的各阶自然频率

　　弦对应于各阶自然频率的主振动为

　　而弦的任意一个自由振动都可以表示为这些主振动的叠加，即有

　　其中各个Ai 与Bi由运动的初始条件确定。

　　设在初始时刻t=0有

　　于是有

　　利用三角函数的正交性，可得

　　可见，张紧弦的自由振动，除了基频(最低频率)振动外，还包含频率为基频整数倍的振动。这种倍频振动亦称为谐波振动。

　　杆的纵向振动

　　设杆的横截面在振动时仍保持为平面并作整体运动。略去杆纵向伸缩而引起的横截面变形。

　　取杆的纵向作为x轴，各个截面的纵向位移表示为u(x,t)，如图3。杆的微元dx在自由振动中的受力图也在图3中给出。

　　设杆单位体积的质量为ρ，杆长为l，截面积为A，材料的弹性模量为E。再设任一x截面处，纵向应变为ε(x)，纵向张力表示为P(x) ;则由材料力学知

　　而在x=dx截面处的张力则为

　　列出杆微元dx的运动方程，得

　　整理得

　　其中c2=E/ρ。

　　仍然采用分离变量法，将u= (x,t)表示为

　　得到类似于下式的常微分方程组

　　由此解得U(t) 与X(x) ：

　　1. 两端固定的杆
　　这一情形与上节所述弦的振动相似。边界条件为

　　可得到

　　2. 两端自由的杆
　　这时，杆两端的应力必须为零，故边界条件为

　　由此得

　　3. 一端固定一端自由的杆
　　这时，边界条件为

　　由此得

　　4. 一端固定一端弹性支承的杆

　　设弹性支承刚度为k。这时，边界条件为

　　由此得

　　从后面一个方程可得

　　对应于给定的a值，不难找到各个固有频率ωi 的数字解。而与各个ωi 相应的振型函数为

　　轴的扭转振动

　　假设轴的横截面在扭转振动中仍保持为平面作整体转动。

　　取圆轴的轴心线作为x轴，图5轴任一x截面处的转角表示为θ(x,t)。设轴长为l，单位体积的质量为ρ，圆截面对其中心的极惯量矩为Ip，材料的剪切弹性模量为G。轴的扭转应变为∂θ/∂x，作用于微元dx 两截面上的扭矩分别为

　　及

　　列出运动微分方程，可得

　　整理得

　　其中c2=G/ρ。这与前面得到的波动方程形式完全一样，故解的形式也一样。

　　弦的横振、杆的纵振与轴的扭振都导致同一形式的波动方程。它们的运动具有共同的规律，如表1。

　　梁的弯曲振动

　　梁挠曲线的微分方程
　　假设梁具有对称平面，且在弯曲振动中梁的轴线(以下称为挠曲线)始终保持在这一对称平面内。取梁未变形时的轴线方向为x轴(向右为正)，取对称面内与x轴垂直的方向为y轴(向上为正)。

　　梁在弯曲振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为

　　除了理想弹性体与微幅振动的假设外，还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的。梁挠曲线的微分方程可表示为

　　即

　　上式就是等截面梁在集度为q的分布力作用下的挠曲线微分方程。

　　弯曲振动的微分方程
　　应用达朗伯原理，在梁上加以分布的惯性力为

　　将上式代入方程

　　即得等截面梁自由弯曲振动的微分方程

　　其中a2≡EI /ρ。上式是4阶偏微分方程，也需根据梁的支承情形附加适当的边界条件。所以，在数学上这类问题常称为偏微分方程的边值问题。

　　常见的边界条件
　　1. 固支端
　　该处挠度与转角都为零，即有

　　2. 铰支端
　　该处挠度与弯矩都为零，即有

　　3. 自由端
　　该处弯矩与剪力都为零，即有

　　边界条件的分类：
　　      · 几何边界条件：对挠度或转角的限制条件。
　　      · 力边界条件：对弯矩与剪力的限制条件。

　　弯曲振动的微分方程的解
　　采用分离变量法。假设等截面梁自由弯曲振动的微分方程的解可表示为

　　将式上代人等截面梁自由弯曲振动的微分方程，得

　　要使上式对于任何x与t值都能成立，必须使二者都等于同一个常数，和前面关于波动方程的讨论一样，只有当这一常数取负值时，才有对应于振动运动的解。故可以把这一常数记为-ω2 。

　　于是有

　　其通解为：Y(t)=Asinωt+Bcosωt

　　上式是一个4阶常系数线性常微分方程，它的特征方程为

　　其特征值为

　　故方程

　　通解为

　　引用双曲函数，可将上述通解改写成

　　其中C1，C2，C3，C4为积分常数。

　　这时，边界条件相应地转化为
　　1. 固支端

　　2. 铰支端

　　3. 自由端

　　在具体考察各种支承情形下梁弯曲振动固有频率与振型函数之前，先将边界条件中要用到的X(x)的各阶导数列出如下：

　　来源：节选自《飞行器结构动力学——弹性体振动》PPT
　　作者：文立华 西北工业大学航天学院飞行器设计工程系