用振动力学知识解密央视科普节目

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　　作者：张天程 天津大学

　　近日，央视一套播出的《加油向未来》科普节目中有这样一个实验，吊在同一个绳子上的两个秋千，在两秋千搭载质量相等的情况下，拉起其中一个秋千并释放，随后两个秋千的摆动此消彼长，相互交替，直到停止。节目嘉宾张双南教授从柔性绳子的能量传递存在延时的角度给出了定性解释。

　　实际上，这是一个自由振动的问题，可用振动力学的理论加以解释。建立模型如下图，两个秋千看作两个单摆，因两个秋千主要作前后摆动，因此忽略掉X方向和Y方向的运动情况，只考虑Z方向的运动。

　　另外，考虑到AC段与CE段、BD段DF段与是同步摆动的，所以两个摆可以看作是绕AB摆动的，则可进一步简化模型如图，其中绳子在Z方向的作用相当于一条弹性的弦，因此简化为弹簧。

　　系统仅有两个自由度φ1和φ2，设两个秋千的摆长均为l，人体质量为m，AC、BD段长为h。以静平衡位置为零势能位置，应用拉格朗日方程，建立动力学方程。

　　动能：

　　势能：

　　拉格朗日方程：

　　得：

　　因摆幅较小，所以sinφ1≈φ1，sinφ2=φ2，原方程化为：

　　可解得

　　其中

       其中 为初始条件。


　　在节目中，开始给了其中一个秋千一个初始位移，因此，可得初始条件为

　　代入方程，解得

　　因为绳子在Z方向的刚度k很小，因此

　　相差不大。

　　因此φ1，φ2可以看作频率为ω1-ω2/2的简谐函数，其中φ1为余弦函数，φ2为正弦函数，因此两者相位差为π/2，其中一个摆振幅最大时，另一个摆振幅为0。例如，取ω1=49，ω2=51，绘制时间历程图如下。

　　从图中就可以看出节目中两个秋千的振幅此消彼长变化的规律。

　　参考文献：
　　谢官模. 振动力学(第二版). 北京：国防工业出版社. 2011:116-119.

来源：漫步力学（ID：Walking-mechanics）