泛函变分小结：理解变分法的基本思想及其发展

weixin

感觉泛函变分是个很神奇的东西，居然能求出一个函数，想好好学一学，发现书上讲的不透彻，证明不详细，用于求解泛函变分时查公式还行，但要了解变分法的思想，简直不可能。个人感觉推导出欧拉方程，不管变分也还可以理解，但一到变动边界的时候就费解了，原因还是前面变分的物理意义没弄懂，这种情况下只能充当跟屁虫。

不知道现在的很多老师是不懂还是故意藏着掖着，精髓不给人讲，让人摸不着头脑，可悲可叹！这个时代，人们盲目的迷信西方科学，要知道欧拉、拉格朗日再牛，那也只是用自己的智慧阐释了自然的规律，他们的起航工作固然可敬，但如果他说啥就听啥，那就是舍本逐末了，用符合自己思维方式的方法，配合前人的工作，理解自然规律才是正道，盲目的在人家的思维圈子里转啊转，悲乎！个人愚见！

看到网上有个老师讲变分，短短数讲，通俗易懂，没有大段的公式定理迷惑人，这才是育人的态度。不过变分还是一个比较深的理论，他讲的一共一个多小时，不足以覆盖全部泛函变分的知识，但对于理解变分的发展、思想还是一个很好的教程。

视频网址：http://www.youku.com/playlist_show/id_3744431.html

以下是视频主要内容的总结：

1. 泛函极值求解
泛函如下：

设

其中：y(x)为解函数，ε为控制因子

则解满足：

最终得欧拉方程如下：

或

2. 函数的变分
函数的变分即在函数上加一个扰动，注意自变量上没有扰动，如下：

其中，δy为y的变分。

自变量的变分为0，即

某些量被拿来做另一些量的依据，则这些量的变分为0。

变分与微分的可变换性：

所以变分与微分具有可交换性。

变分与积分地可交换性：

所以变分与积分具有可交换性。

3. 函数变分的具体计算
函数的变分计算如下：

此公式类似于全微分的表达式，但全微分中的dx、dy、dz是实实在在的移动，而δx、δy、δz是人为加上去的扰动。两者的区别在于变分是一种数学实验，但又由于变分也是微扰，故可用且需要用微分的公式计算。微扰的含义如下理解：

其中ε很微小，α、β、γ任意变化，微小体现了微，任意变化体现了扰。

故(δx, δy, δz)是三维空间中任意变化的向量，任意角度、任意长度(微小)。

即梯度为0。

注意：之前提到自变量的变分为0，而这里又拿自变量的变分表示函数的变分，是不是矛盾呢？我觉得这可以用“某些量被拿来做另一些量的依据，则这些量的变分为0”来解释，在求泛函时，考虑的是函数的扰动对泛函值的影响，自变量为函数的依据，其便分为0，而在具体计算函数的变分时，则需要考虑自变量的变动。(个人理解，讲座中这一点没讲到)

4. 泛函的变分
函数上加微扰，泛函上有多大的差别，故定义如下：

上面的泰勒展开，由于后面是微量ε的高次项，故略去。

除式泛函变分：

微分的变分：

5. 多应变数泛函

设

两函数的变化由同一个ε控制。

则

解得：

即为多应变量的欧拉公式，可以推广到更一般，如下：

6. 有辅助条件的泛函变分
如在辅助条件

求泛函的极值

最后得拉格朗日方程：

7. 多变量的泛函

解得

即为奥氏方程。

来源新浪了凡春秋的博客