姬扬：力学教学笔记之坚贞不屈的刚体

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作者：姬扬

走过去是七步，走回来也是七步。

——伏契克

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学讲到现在，终于可以讲点新东西了。老是讲质点，烦死我了。终于可以讲讲刚体了。

道生一，一生二，二生三，三生万物。如果说物理是道，那么质点就是一，而刚体就是三，是所有力学的基础。

首先讲讲自由度。什么是自由度？简单地说，力学里的自由度就是描述物体空间状态所需要的变量的数目。

以最简单的质点问题为例。如果质点在一根这直线上运动，那么它就只有一个自由度，与这条直线上某个特定点(参考点，或者原点)的相对距离x(可正可负)。这个位置随时间的变化率 ，就是该质点的速度，速度随时间的变化率 ，就是加速度。

如果这个质点挣脱了锁链，跑到平面上运动，这时候它就有两个自由度了(x,y)，同样表征了质点在平面上的位置，相应地也有速度 和加速度 。当然，这两个自由度也可以用其他坐标系来表示，最常见的是极坐标系。从平面跑到三维空间，就是我们通常所说的质点有三个自由度了 ，相应的有速度和加速度，同样也可以在柱坐标系、球坐标系或者其他坐标系里表示出来。

位置x和速度描述了质点的所有运动(以后你们会碰到“相空间”的概念，它就是由这两者构成的)。简单地说，牛顿力学的基本精神就是，力决定了加速度，其他更高阶的变化就不需要考虑了——不需要考虑加速度随时间的变化，因为全都归结到“力”了。

比一个质点多的东西就是两个质点了。如果这两个质点没有任何关系，大家各过各的，那就是把质点问题算两遍，没有任何挑战性。如果它们之间有联系，那么最简单的联系就是刚性联系了(中学物理力经常说的轻质刚性细杆)，也就是说，这两个质点之间的距离保持不变。那么他们就有5个自由度了：每人3个自由度，这是6个，再减去一个限制(距离保持不变)，所以是5个。

这时候可以引入“质心”的概念：这两个质点和连接它们的轻质刚性细杆，构成了一个杠杆，杠杆的支点就是质心的位置，把质点选在质心，杠杆就有保持平衡。可以用另一种方法来描述这个双质点系统：质心有3个自由度，轻质刚性细杆的取向有2个自由度，就像地球上经度和纬度这两个自由度一样。

比两个质点更复杂的就是三个质点了。用轻质刚性细杆连接的三个质点，只有6个自由度：两个质点是5个，增加了一个质点，多了3个自由度，但同时也多了两个限制条件，所以再减去2，总共就是6个自由度。三个质点也有质心，就是这个三角形的重心(如果它们的质量各不相同的话，就要考虑加权)，也是这个“平面杠杆”的支点。

比三个质点更多的就是四个质点了。你还有没有完？有完，有完，这就完了。多了一个质点，并不会多出来自由度，因为同时也增加了三个限制条件。所以，仍然是6个自由度。同理，对于刚体来说，不管是由多少个质点构成的，它也只有6个自由度——因为刚体中任意两点之间的距离都是固定不变的。

补充一点，质心的概念并不限于刚体，它仍然是所有这些质点构成的“大杠杆”的支点。

刚体有6个自由度，刚体中任意挑选的三个点就完全确定了刚体的空间位置，这6个自由度及其随时间的变化率就确定的刚体的状态，同样也是由牛顿定律决定的。

这6个自由度可以换个方式描述。质心有3个自由度，质心处自带一个右手坐标系xyz，三个轴的方向也有3个自由度：随便选个x轴，它有2个自由度；y轴必然位于和x轴向垂直的平面内，它的方向就只有1个自由度了；z轴也在这个平面内，而且和y轴平行，所以没有新的自由度。

除掉质心以外的3个自由度还可以用所谓的欧拉角(θ,φ,ψ)来描述。欧拉角(θ,φ,ψ)描述了附着在刚体质心(其实可以是刚体上的任何一个位置)的固定坐标系xyz与某个特定参考系XYZ的相对取向。

把两个右手坐标系xyz和XYZ的原点放在一起；xy和XY平面有一个交线(所谓的“节线”，Z×z决定其正方向N)；Z和z轴之间的夹角就是θ；X和N轴之间的夹角就是φ；N和x轴之间的夹角就是ψ。可以看到，θ的取值范围是(0,π)，而φ和ψ的取值范围都是(0,2π)。如果用个图来说明，就很容易看明白了，但是我偷个懒，大家随便找本《力学》看看就可以了(比如说朗道和栗弗席兹)。

好了，讲完自由度，接着讲刚体。

描述刚体的运动状态，就是描述这6个自由度及其随时间的变化率。由于牛顿第三定律(作用力等于反作用力，方向相反)，问题得到了很大的简化。

首先是质心的运动。质心的3个自由度完全决定于外力(刚体内部的相互作用力完全抵消掉了)，可以用质点动力学进行完整的描述。这样就只剩下3个自由度。换到质心坐标系，质心就是不动的原点，那么刚体就只能绕着这个点转动了。当然，除非全部外力之合力等于零，这个质心坐标系是非惯性系，需要考虑各种非惯性力的影响，但是，这些都是质点动力学已经解决了的问题。

现在考虑刚体的转动。转动总是相对于某个转动轴的(在任何瞬时都是如此，但是下一个时刻，这个转动轴就可能变了)，最简单的转动是定轴转动，也就是说，转动轴保持不变。转动轴有2个自由度(转动轴的方向)，所以，在定轴转动中，刚体就只剩下1个自由度了：刚体绕着转动轴转动的角度θ。角度随时间的变化就是角速度。

就像平动有动能一样，转动也有能量，这就是转动能。平动有惯性，转动也有惯性，简单的类比可以知道，质点绕轴转动的惯性就是mr2，其中r是质点到转动轴的距离。对于刚体来说，转动惯量就是：

其中ρdV就是某个小小区域的质量。

不行，我这样写下去就成了抄书了。抄书太烦人了，我还是争取不用公式吧。想看书的人，直接找本书看就行了，没必要看我写的这玩意儿。

转动惯量依赖于刚体的密度分布，也依赖于刚体转动轴的位置。最简单的位置就是转动轴通过刚体的质心，此时的转动惯量计算就是个简单的微积分习题，常见的刚体有条形、长方形、圆盘、圆柱、长方体、球体、甚至还有椭球体，其实都很简单的，自己去算算就行了。对于平板刚体(完全位于xy平面)，还有个简单的公式(垂直轴定理)：

你算出来此时的刚体转动惯量了，可是，如果转动轴变了，刚体的转动惯量也会改变，还得重新计算，真烦人。如果转动轴仍然通过质心，只是转动了个方向，那么没办法，你基本上只能重新算了。一个简单的例子：条形的转动惯量依赖于转动轴于条形的相对方向，而球体的转动惯量不依赖于转动轴的方向。如果新的转动轴平行于通过质心的转动轴，就有一个简单的计算公式(平行轴定理)。

需要注意的是，只有当起初的转动轴通过刚体质心的时候，才能应用平行轴定理。任意两个转动轴，即使它们是平行的，也不能从一个的转动惯量直接得到另外一个的信息。如果有三个平行的转动轴，知道了刚体相对于他们的转动惯量，就可以刚体沿着平行于此三个转动轴的任意转动轴的转动惯量，这是因为可以首先找到质心所在的平行轴。

原则上，你就可以算出刚体绕着任何轴的转动惯量了。但是，还有比定轴转动更复杂的转动，比如说，定点转动。这时候，只有一个点是固定不变的，所以有3个自由度。讲起来比较烦了，随便哪本书上都讲得很清楚，大家认真看就可以了。记住这么几点就可以了：

• 质心的运动只依赖于外力的合力
• 刚体的转动也可以表示为只依赖于外力的合力的形式：刚体的角动量的变化率，等于合外力作用于质心处、相对于参考点产生的力矩。
• 质心是非常特殊的，考虑它往往能简化问题。
• 刚体的动力学规律有所谓的质心运动定理、动能定理和转动定理。刚体作平面平行运动时，相对于任何转轴的角速度都是相同的；总能找到一个瞬时不变的点(瞬心)，还有个所谓的瞬时轴定理。
  

上面讨论角动量和转动惯量的时候，采用的都是一些特例。真实的情况还会更复杂，比如说，角速度可以指向任意方向的，而定点转动的角动量应该用下式来计算(这还不是最复杂的情况呢)。

此时，角动量的方向和角速度的方向没有理由是一致的，转动惯量会以矩阵的形式表示，也有个高大上的名字叫张量(大家随便听听就是了)。我们通常也就是考虑有对称轴、对称面的特殊刚体，用这些特例来培养自己的物理图像和物理直觉，更复杂的问题，只能借助于一些微扰的方法，或者求助于计算机了——当然你也要对结果保持适当的警惕，用自己的简单模型来检验一下。

陀螺是最常见的刚体转动的例子，也是任何一本力学教材都要详细讲的东西，我就不献丑了。地球也是个大陀螺，有自转，因为它不是完美的球体，表面还有水的流动，太阳和月亮对地球有力矩的作用，所以地球还会有章动、有进动。地球自转的周期是1年；章动就是地球自转轴的微小变化，其周期大约是19年，与沙罗周期的18年很接近；地球进动的周期大约是2.6万年，这个太长了，平时很难注意到。

关于刚体，也就讲这么多了，再多就太烦人了，也超出了我们大学普通物理力学的范畴了。至于说刚体的平衡，不过就是合力为零以及合力矩为零，简单得很。刚体不过是质点又往前迈了一步，才6个自由度，我们接下来处理的流体力学、弹性力学，每个都有无穷多个自由度，以前的学生不也都挺下来了吗？一句话，要坚持!

君当作磐石，妾当作蒲苇。蒲苇纫如丝，磐石无转移。

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PS：
说到地球的进动，其实，我们的先人是注意到这种现象的。百度百科词条“虞喜”说：

虞喜(281年—356年)，字仲宁，余姚人。博学好古，尤喜天文历算。郡守诸葛恢巡视余姚，任为功曹。晋永嘉元年(307年)征为博士；咸和末举为贤良；咸康初，内史以其“博闻强识，钻坚研微”复荐为博士，皆不就。世为豪族，精天文、经学，兼擅谶纬诸学。咸和五年(330年)，根据冬至日恒星的中天观测，发现岁差，认为太阳从第一年冬至到第二年冬至向西移过原先位置，推算出每50年退一度(现代测定为71年8个月)。《宋史·律历志》载：“虞喜云，尧时冬至日短星昴，今二千七百余年，乃东壁中，则知每岁渐差之所至。”

这还不是最奇特的，最奇特的是我在网上看到的某个解释。网客“泉畔人家”认为，如果虞喜关于“尧时冬至日短星昴”的说法是正确的，那么倒推回去的结论就是：尧帝的时代就不是公元前两千多年，而是公元前四千年!也就是6000年前!

“泉畔人家”很久以前就提出这个说法，大概是在cchere网站里提出来的。最近他跑到知乎去了，他的论证在这里。我觉得很有道理：虞喜的数据是虞喜自己查阅古籍得到的；地球的进动周期是确定的；虞喜得到的岁差50年1度的结论，而不是70年一度的天文观测结果，那是因为他尧帝到他那个时代的时间是2700年。

当然，也还有另外两种可能性：古籍记录的不是尧帝时的天象，而是抄录更古老的典籍，记录的是更早时间的天象；再就是星座的名称变了，但是，中国古代对天文星象的观测记录是非常严肃的事情，这种错误发生的可能性并不大吧。

所以说，读书很简单，但是从书里读出自己的东西，才需要真本事。“泉畔人家”好像也没有什么高深的学历，也常常被当作“民科”看待，但是我觉得，他的看法还真是非常有道理的。佩服。

哦，对了，这位“泉畔人家”还有一个发现，他说，汉朝军队和罗马军队在两千年前交过手，汉军大胜，这就是著名的卡莱战役。他的推理在这里(更多细节在cchere，也是很多年以前的事情了)这个说法看得我将信将疑，但是不得不承认，这位老兄看书不是白看的，善于提问题、善于找证据，推理也很缜密，真是了不起的人才。

其实，读书真的没有什么了不起的，拿个博士壮士烈士的学位，也稀松平常。能够发现问题、解决问题，见前人所未见，想前人所未想，那才是真本事！

高手在民间!

原文链接：http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1017211.html