姬扬：力学教学笔记之数值估算

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作者：姬扬

脱离物理的数学是瞎子，脱离数学的物理是瘫子

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高等数学(微积分)很重要，大学物理(力学)也很重要。二者不可偏废，他们不是竞争敌对的关系，而是相辅相成、互相促进的关系。

高等数学和大学物理都不难，他们就是中学数学和中学物理的自然延伸，不过更加精细、更加深入一些而已。作为大一大二的学生，最重要的是不要胆怯，不要觉得大学物理和数学很高深，不要嫌弃中学物理和数学太粗浅——其实他们都没有什么了不起的。需要学的时候就学，需要用的时候就用，同时记住黄昆的话，“学习知识不是越多越好，越深越好，而是应当与自己驾驭知识的能力相匹配。”

什么是驾驭知识的能力？怎么才能提高自己驾驭知识的能力？没有什么秘诀，就是多思多用——碰到问题，不要总想着用别人的高明方法，其实自己掌握的粗浅方法同样管用的。程咬金就那么三板斧的本事，可是架不住他手熟啊。

我在课堂上喜欢比划，不愿意讲书上那些详细的推导。原因有这么几个：书上的推导已经很完备了，我再讲也讲不出花儿来；初学者不是跟不上那些推导，而是搞不懂为什么要那么推导，其实就是没有物理图像;最关键的是，他们迷信高深的数学，不太相信粗浅的物理。其实，在解决问题的过程中，物理和数学是一体两面、谁也离不开谁的。脱离物理的数学是瞎子，脱离数学的物理是瘫子。

我是搞物理的，算是科班出身吧，无论数学还是物理都受到过严格的训练，大概都相当于研究生的水平吧。我读过很多书，也见过一些人，不能说是完全没有见识。我很看重物理图像的建立和物理直觉的影响，因为我从来没有见过谁真的能够推导公式三五页而不出错——传说中的不算，而我自己通常三五行就会出错。

在我看来，正确的物理图像是数学推导能够顺利进行的保证。在这个方面，赵凯华的《定性和半定量物理学》对我的影响很大。刚上大学的时候，自己公式背得烂熟，却没有物理图像，读了这本书才算开了些窍，知道了物理图像比加减乘除重要得多了。

建立物理图像、培养物理直觉，可不是空口说白话，而是要平时多注意。就算受过良好的训练，也不能保证自己不犯错、不扯淡。据说，霍金是在世最有名的理论物理学家(其实他比C.N.Yang差远了)，最著名的科普作者，竟然也能扯出“摄星计划”这样的淡；据说，马斯克是全球最神勇的科技创新实业家，总是提倡物理思维的，可是照样敢吹“用原子弹改造火星大气”这样的牛；据说，加州政府是清廉民主的典范，果然干得出“假抗旱，真忽悠”这样的大事;据说，NASA是冲出地球的先锋，居然也算不清“太空巴士”票价到底应该是多少钱。“时时勤拂拭，莫使染尘埃”，古人诚不我欺。

原则问题总是很简单，也总是可以扯个没完的，我们还是举个具体的例子吧。这两天闹的是“超级月亮”，我已经用了一些简单的算术解释了如何进行夸张式的科普，但仍然可以看到各种“超级月亮带来灾害”的神论，那就再说几句吧。

月亮离我们很远的，月亮对我们的影响只能是通过引力，对了，就是用苹果砸牛顿脑袋的那个万有引力。用一些简单的数值估算，就可以知道月球引力是多么的微弱，月地距离5%的偏离根本就不会有什么显著的影响。

月亮是地球的卫星，它的直径是3500公里，到地球的平均距离是38万公里，轨道的离心率(也就是偏离平均距离的程度)是5%。月球上的重力重力加速度是1.6m/s2(大约是地球的1/6)。

根据平方反比定律，如果用加速度来表示月球对地球上物体的吸引力，那么这个加速度就是地球重力加速度g的十万分之一，

这还是平均值，超级月亮比普通月亮的不过是在此基础上上下浮动10% (2x5%，注意了，只有在这个时候，我们才需要高大上的微积分，其实还是假装需要的)，那么超级月亮和普通月亮的引力差别不过是地球重力加速度g的百万分之一。好可怕的超级月亮啊！

百万分之一g是什么概念？地球不是个静止的理想球体，由于地球的形状和自转，重力加速度依赖于维度，其差别大致是千分之5，(赤道大约是9.78m/s2，南北极大约是9.83m/s2)，这比超级月亮引起的差别大了5000倍！地球不是一个质点，而是直径为6400公里的球体，对着月亮的一侧和背着月亮的一侧，感受到的月亮引力也就有差别，这个差别是平均引力的3%(2x0.64/38，注意了，高大上的微积分又来了)，居然跟超级月亮的引力差别(10%)离得不太远，但这可是天天都发生的事情啊。

我们再来看看百万分之一g到底有多么了不起吧。它对应的加速度是每秒钟速度改变为十万分之一米每秒，也就是每秒10微米的速度，如果你从静止开始，在一秒钟里爬过一根头发丝的距离(大概二三十微米吧)，那么你就加速得太快了！摸摸你的脉搏，一秒钟跳动的高度也要远远超出这个值了！呼吸的时候，你鼻孔的伸缩都是这个值的几十倍、上百倍！

再换个说法。普通人的体重是100斤，一百万分之一就是50微克，大约是一个吐沫星子的重量。好可怕！唾沫星子淹死人，原来是超级月亮造的孽！地球跟我们生活密切相关的部分主要是地壳这薄薄的一层，地震什么的都发生在这里。地壳的厚度大约是几十公里，那么百万分之一g的影响，就相当于你在地面上多放了一本书(1厘米正好是10公里的百万分之一)。好可怕的超级月亮！

再换个说法。别拦我，我说得上瘾了！现在到处都是高架桥，桥墩大都是几米乃至十几米的混凝土墩子，你随便走到哪个桥墩子边上，你就感受到的万有引力也有百万分之好几个g了。(万有引力GMm/R2=GρR3m/R2=GρRm)狼人肯定会高兴了，再也不用等到月圆之夜、紫禁之巅了，随时都可以蹲到桥底下去了！

对了，再提醒一下：超级月亮的周期是19年，大约300个月，相邻月份的满月之间差别比这个百万分之一g还要小，大致还有个100的因子。也就是说，相邻月份的满月的差别大约是几千万乃至几亿分之一g的差别！是的，这是个很大的差别，比落到你身上的一粒PM2.5粉尘的危害大多了！

好吧，这就是超级月亮的威力！不知道你怕不怕，反正我是怕死了。天地不仁，视万物为刍狗，竟然拿这么超级月亮来迫害我！

潮汐？是的，是有些影响。地震？哈哈，今天的天气真好。对！我说的就是天气？您还是想多了。个别建筑的倒塌？甭逗了您。影响个人生理和情绪？您真的是狼人吗，或者您是希瑞斯？不，我是凯丁。影响历史的进程?好吧，你赢了。

据说，科网博客的门槛挺高的，在这里发言的都是些教授、研究员什么的，至少也是个博士博的、或者硕士硕的，平时说起他那没人懂的专业也都像模像样的，可是一旦说起个把中学物理(好吧，其实大学普通物理)就能搞明白的事情，我们才知道，这个所谓的门槛根本就是唬人的啊！

最后再补充两句。只用中学物理和数学就可以戳穿这么多大忽悠，更别说你现在正在学习的高等数学和大学物理了。只要你有信心，有办法，就可以看透博文点击数的奥秘，还可以定量地验证。当然这些都是小儿科，不信你看，真正的高手陈经分析了美国制造的成本，安生戳穿了外国发明的黑幕！总而言之，

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常识很重要，忽悠要不得！

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