姬扬：力学教学笔记之碰撞问题

weixin

作者：姬扬

昔者，共工氏与颛顼争为帝，怒而触不周之山，天柱折，地维绝。

——《列子·汤问篇》

---

谈谈碰撞问题吧。利用碰撞问题来讲讲大学普通物理中《力学》的基本内容。

首先，要有一个物体。当只有这一个物体的时候，它会保持静止或匀速直线运动，因为没有其他东西给它施加作用力嘛。这就是牛顿第一定律。

其次，碰撞最少还要一个物体。两个物体才会发生碰撞，它们会彼此施加力的作用。对于任何一个物体来说，力的作用会改变它的运动状态，运动的变化与所加的力成正比，并且发生在力的方向上。这就是牛顿第二定律。所以，碰撞后两个物体的运动状态都会发生变化。

然后，两个物体之间的相互作用力大小相等，方向相反。这就是牛顿第三定律。所以，两个物体作为一个整体来说，其运动状态在碰撞后不会发生变化。这就引入了质心的概念。同时，两个物体相对于彼此的运动比照质心参考系来说更快了，这就引入了约化质量的概念。

碰撞的过程中动量守恒。最便于描述碰撞过程的参考系是质心参考系，因为该参考系中的两个物体的总动量为零。碰撞前，每个物体的动量大小相等，方向相反;碰撞后，每个物体的动量仍然是大小相等，方向相反。但是碰撞前后的大小和方向都可以发生变化。知道了质心坐标系的碰撞结果，很容易转变到任何其他的惯性参考系中，比如说，实验室参考系。

在碰撞的过程中，动能没有必要是守恒的。两个物体可以粘在一起，这样它们就不动了，动能为零；两个物体的碰撞也可能引发爆炸，化学能或者核能可以转化为动能。所以，碰撞过程可以分为弹性碰撞和非弹性碰撞。弹性碰撞过程中，动能是守恒的；非弹性碰撞中，碰撞前后的动能不一样，通常说动能变小，甚至还引入了小于1的恢复系数来描述它，其实动能也是可以增大的。

这就是经典力学中的碰撞问题了。这样的碰撞涉及的物体大小和速度都与我们的日常经验相差不大。至少有两种不适用的情况。一种是碰撞体太小了，这就会涉及到量子力学;另一种是运动速度太快了，这就涉及到相对论。

多小算小呢？大约原子的尺度吧。此时的主要修正在于，碰撞的粒子不再是可以区分的，全同粒子的特性改变了碰撞过程的细节。质心系仍然是最合适的参考系，动量守恒也仍然满足，但是全同粒子的统计特性的差别(费米子还是玻色子)会导致散射方向分布的不同。

多快算快呢？大约光速吧。光速设定了物体运动速度的上限，运动速度接近光速的时候，物体的质量会发生改变，不同于静止情况下的质量。但是，相对论对碰撞过程的影响，仍然是对细节的修正。

高能粒子对撞机同时涉及了量子力学和相对论的修正，但是它仍然是个碰撞问题。特别的地方在于，碰撞的后果比较严重，碰撞前的是两个状态稳定的家伙，碰撞后可能就是乱七八糟的一堆疯子了。但是，他们也满足动量守恒，其能量和动量分布能够反映出碰撞的细节。高能物理学研究的就是这东西。

两体碰撞问题也可以很容易地推广到多体碰撞，乃至一个物体与流体的运动问题。

比如说，所谓的比萨斜塔实验。从多高的塔上扔铁球，才需要考虑空气阻力呢？铁球密度为ρ1，半径为r，空气密度为ρ2，下落高度为h，铁球质量与其排开空气的质量相近时，空气显然不能忽略。则，ρ1r3～ρ2r2h，即， h～(ρ1/ρ2)r。也就是说，这个高度是铁球半径的几千倍。几厘米的铁球，塔高大约几十米。显然，如果把球的尺寸缩小几万倍，到达微米的尺度，这就是雾霾悬浮在空气中的原因了。

当然，上面的估计只是个很粗糙的上限，根本没有考虑物体运动速度的影响。考虑进来也不难，换个例子，谈谈风阻吧。Blowing in the wind，看起来很酷，其实阻力蛮大的。

物体的运动速度为v，截面积为S，空气密度为ρ，单位时间内排开的空气质量就是ρSv这些质量也获得了v，所以阻力就是ρSv2。当然，这只是估计值，显然还差了系数，所谓的风阻系数，主要是由物体外形决定的，我们通常说的流线型外壳，讲的就是这个。不管节能要求高的电动车、底盘要求特别稳的赛车，还是速度非常快的高铁、飞机和火箭，都很讲究这个，而且这玩意也不完全是靠算出来的，主要还是靠风洞来吹。显然，这种估计也可以用来讨论降落伞。

有碰撞就是分离。火箭发射也可以看作是一种碰撞过程，只不过我们通常认为它是分离。当然可以用微分方程来描述火箭发射，但是理解其中的物理，根本就用不着这么复杂。我们都知道，“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”把它当成火箭好了，切掉一半往后一扔，前面的一半就往前走，速度为v；把往前走的这一半再切掉一半，往后一扔，前面的速度就变为2v；如此下去，切n次，前进的速度就是nv，剩余的火箭质量就是1/2ⁿ。 显然，这就是火箭运动微分方程里得到的vln(m0/mf)，只是差了个ln2而已。

火箭靠自我牺牲才能前进，其实也有凭借外力的方法，而且也是个碰撞问题。“好风凭借力，送我上青云”，风口上的猪，不就是这样的吗?甚至连风都不用，太阳光就可以。太阳光把风筝晒脱一层皮，风筝也会往前跑，这是克鲁克斯管；太阳光被反射，风筝也会往前跑，这就是太阳帆，来自于光子的动量；在非常特殊的情况下，晒太阳甚至可以让你舒服得团团转，这就是雅科夫斯基效应;如果你会忽悠，还可以考虑用激光，玩个飞跃人马座的大游戏。

好了，上面这些例子都是瞎比划，而且是非常随意地挑选出来的，他们甚至都没有什么精确解。最后，再举几个真正了不得的碰撞例子，算是向数学致敬吧。

宇宙级别的，传说中的黑洞吸积盘和今年大热的双黑洞旋转；星体级别的，引力弹弓，月球上的陨石坑，以及恐龙灭绝的原因；宏观大小的，弹道导弹和反导系统；分子级别的，布朗运动，各种化学反应；原子级别的，康普顿散射，激光冷却；原子核级别的，卢瑟福散射；基本粒子内部的，夸克的渐进自由。

甚至还有把微观粒子和宇宙环境联系起来的碰撞，比如说，著名的“我曹”粒子(Oh-My-God particle)，单个氢原子核的能量达到了1021eV，之所以让大家迷惑不已，大呼“卧槽”，就是因为一个简单的碰撞问题，限制了这种能量的粒子的出发点到地球的距离：超高能量的粒子会和宇宙微波背景辐射中的微波光子发生碰撞，从而产生次生粒子。简单的估算，可以知道，这么高能的粒子，与地球的距离不会超过100万光年，可是，在一百万年这么小的尺度里，有什么机制能够产生这么高能的粒子呢?如果你也想不出来，那么就只好说声“握草”了。

其实，碰撞很常见，碰撞也很简单。

更重要的是，碰撞的发生其实很偶然，就像你偶然读到了这篇文章，就像张爱玲偶然发出的感慨：

---

于千万人之中，遇见你要遇见的人。于千万年之中，时间无涯的荒野里，没有早一步，也没有迟一步，遇上了也只能轻轻地说一句：“你也在这里吗?”

原文链接：http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1010966.html。

李明振

学习了，巩固一下知识