应力"奇点"（Stress singularity）（二）

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　　哪些情形会产生应力奇点
　　你可以用你的电脑尝试做下面这个简单的仿真测试，如下图所示，一个薄板部件(2m*1m)一段固定，另一端施加一个载荷，部件中央有一个正方形方孔(0.2m)，不断将网格细化，看看正方形四个顶点的应力值大小。



　　随着网格的不断细化，你会发现四个顶点的应力值会越来越大，应力分布也越来越集中。



　　粗网格下的应力分布



　　精细网格下的应力分布


　　如果你有耐心一直划分下去，会发现应力会不断增大趋于无穷，当然越往后网格划分会越来越困难。应力大小和单元大小的关系近似如下图(x坐标已经对数化处理)。



　　上面这个例子是一个非常容易理解的例子。这种随着网格划分不断细化，应力也不断增大的现象就是应力奇点，或者叫应力奇异性(singlarties)。
　　有些人可能会问，为什么应力会趋于无穷大，数学解释是什么。有限元的数学基础体系很繁杂，不是一个简单的公式可以说明的。不过有个不是很恰当但很直观的一个解释：

　　我们知道，有限元分析中，求得的结果是位移，然后应变由位移导出( ,u为位移)，应变是位移的梯度;然后应变再导出应力( )，所以应力可以看做位移场的梯度或者位移的导数。如下图所示，在截面突变处，位移的大小也发生突变，在网格比较粗糙时这种突变不明显，但随着网格不断细化，突变会越来越明显，相应的导数也就越大，所以应力会不断变大。(但要说明的是，如果现实中有这么一个实实在在的部件，我们去验证，施加了载荷和约束，那么肯定只有一个确切无疑的状态，应力多大，位移多大是实实在在的可以测量出来的。在软件分析中，位移(displacement)是会收敛的，不会一直增大)。


　　应力奇点，往往主要是因为几何体局部没有圆角(截面积发生突变)产生应力集中导致的。还有就是前面提到的点加载;点约束也可能导致奇点;或者部件局部有狭小的缝隙;或者焊接件的焊缝处等等。



　　应力奇点的补充：



　　点约束



　　模型局部狭小的缝隙处



　　焊缝(焊接分析时)

　　怎样消除应力奇点?
　　消除应力奇点很简单，参照上面的例子，为了避免应力集中，我们倒圆角，避免缺口等等，至于点约束或者点加载，其实基本上我们一般压根不关注约束和加载处的应力分布。如果无法避免，根据圣维南原理(请参看前面的文章)，远离奇点或应力集中的地方应力值不受影响。

　　什么情况下要注意应力奇点?
　　什么情况下我们要考虑应力奇点带来的影响呢?在现实生活中，上面提到的会产生应力奇点的理想情形是没有的，比如圆角，加工出来多少还是有的，只是有大有小，应力不会无穷大。但圆角越小应力越集中。


　　有些情况下应力集中我们是不用担心的，拿我们经常看到的窗户来说，如下图所示，拐角处并没有太大的圆角。为什么呢?因为建筑物主要承载的是静力。这种主要承载静力的情况下，应力集中是不会有显著危害的，我们可以不考虑。



　　再看一个窗户，如下图所示，飞机上的窗户，圆角就非常圆润。为什么呢，因为飞机在飞行过程中，外部压强不断变化，窗户的受力也会不断变化，这时候，这种受到载荷不断变化的情形，我们就要高度关注应力集中。



　　载荷不断变化带来的不良影响，就是有限元分析中的疲劳分析(fatigue analysis)。所以，当要对部件进行疲劳分析时，我们一点要关注应力奇点(或者应力集中)，要处理好每一个细节处圆角的大小，因为应力的大小直接决定了我们疲劳分析出来的寿命，如果处理不好，实际情况和软件分析的结果将非常不同。


　　当然有个问题就是，如果我们要对一个非常大的模型进行疲劳分析，每个注意的细节都倒圆角，那圆角将会非常多，这会给网格划分带来很大的困难，不一定能划分成功，就算成功了，网格质量也可能很差，也非常多，那怎么办呢?这个问题将是我们后面要讨论的全局—局部分析(global to local)，我们只把关心的区域处理好，即子模型(submodeling)，然后截取出来分析。比如下图所示的轮毂，由于周期对称，我们只把轮毂的一小部分截取出来进行分析。局部分析的技巧我们会在后续文章中讨论。





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