关于分析力学的定义，尊重现实，面向未来

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引言
分析力学既是一门学科，也是一门课程，同时也是其他课程如理论力学、高等动力学等的组成部分。明确分析力学的定义，对于提炼科学问题凝聚研究队伍扩大学科影响促进知识传播都有积极意义。

分析力学定义的困难在于，有些经典内容形成新的学科，如振动、稳定性、摄动法等；新的研究对象注入新内容，非完整、受控系统等；而新的数学工具如群论、微分几何等在解决问题的同时也提出新的问题。梅凤翔先生通过研究分析力学的论著和相关力学工具书，探讨了分析力学定义的构成要素[1]。

本文研究分析力学的定义。首先概括分析力学学科创始人Lagrange对学科性质的论述，然后归纳分析力学学科的特点，最后给出分析力学学科的一个定义。本文定义分析力学时注意了两个方面，一方面，面向未来，不排斥任何可能的新生长点；另一方面，尊重现实，不再包括已经独立的学科分支。

1. Lagrange对分析力学学科性质的论述
1787年初版的《分析力学(MécaniqueAnalytique)》标志着分析力学学科的正式诞生。作者Lagrange在序言中，对该书宗旨做了下来描述[2]

“我打算把这门科学的理论和求解相关问题的方法精炼为一般的公式，这些公式的单纯应用就能得出求解各个问题的必要的方程。

现有的各种原理将被组集并从单一的角度提出，以便于力学问题的求解。此外，还将表明它们的彼此相关性和共同相关性，并评估它们的适用性和范围。

该书没有任何图形。我提出的方法既不需要解释也不需要几何或力学的论证，而只是按规则且统一的程式进行的代数运算。那些欣赏数学分析的人将高兴地看到力学成为它的一个分支，并将认可我扩展了它的领域。”

1811年该书第二版序言中仍保留上述内容。Lagrange的论述反映了他对分析力学特点的理解：求解过程普适，基本原理统一和研究方法解析。值得注意的是，《分析力学》一书的内容，远比现在对该学科的理解宽泛，是当时主要力学知识的分析化。

Lagrange的论述对后来的研究者有广泛影响。例如分析力学经典著作《质点和刚体的分析动力学教程附三体问题导论(A Treatise on the AnalyticalDynamics of Particles and Rigid Bodies with an Introduction to the Problem of Three Bodies)》(该书简介参阅[3])在定义分析力学时就突出了研究方法解析这个侧面，将分析力学定义为，“分析动力学的名称用以描述这样的知识领域，用数学分析的方法辅助讨论在相互作用之下的物体运动”[4]，并且也是“没有任何图形”。

2. 分析力学学科的特点
Lagrange创立分析力学学科后两百多年，分析力学的学科内容内容已经有了很大的变化。学科性质也不再是全部力学的分析化，而只是一般力学后者动力学的分支学科。

分析力学学科具有下列特点。就研究对象而言，主要是研究受约束系统。就系统变量而言，处理约束的主要方式是通过引入广义坐标描述系统位形，使得完整约束可以自动满足。因此分析力学以广义坐标为描述系统位形的变量。

就物理观点而言，由于约束的力学性质比较复杂，因此应用基于力的矢量方法受到限制，需要从能量观点进行研究，属于经典力学发展的第二条路径[5]。

就最基本理论出发点而言，分析力学所依据的是变分原理，变分原理在原则上等价于牛顿运动定律和对约束力学特性的假设。

就研究方法而言，分析力学强调数学方法的发展与应用。

就研究内容而言，分析力学主要是系统运动微分方程的建立，也研究解的定性和定量特征，但对求解的研究有些已经独立成为单独的学科。

3. 分析力学学科的一个定义
基于上述对分析力学特点的归纳，可以给出分析力学学科一个描述性的定义。

分析力学是动力学与控制的分支学科。主要采用广义坐标描述力学系统(特别是受约束系统)的位形，通常利用能量或类似能量的标量函数，建立系统的变分原理，由此推导系统运动微分方程，并发展和运用数学方法研究运动方程的几何描述以及某些精确或近似的解析方法，也研究数值解法的某些理论依据。

上述定义使用了些较为宽泛的词，如“主要”、“通常”和“某些”，因为确实有些特殊的例外情况不符合这个定义。也许上述定义在学术严格性方面尚有待进一步推敲，但在教学中，或许不失为一个较为简洁又有有足够涵盖性的分析力学定义。
参考文献

[1]梅凤翔.关于分析力学的定义与内容. 力学与实践, 2015： 37(2): 238-242.

[2]J L Lagrange (translated by A Boissonnade & V N Vagliente). Analytical Mechanics. Springer, 1997:7-8.

[3]陈立群. 分析力学的3部经典著作及其作者. 力学与实践,2010, 32(5): 113-116

[4]E T Whittaker. A Treatise on theAnalytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies with an Introduction to theProblem of Three Bodies (4th ed.). Cambridge UniversityPress, 1937.

[5]武际可. 经典力学发展的两条路径. 见: 《力学史杂谈》(北京：高等教育出版社, 2009): 173-183

来源：科学网陈立群博客