冗余小波包合成以及降噪试验和能量守恒定标

sorry

　　小波经典名著“十讲”，在3.6节早已指出，小波框架可以是冗余的，而且冗余可能给某些应用提供值得追求的好处;在10.6节还称赞，能量有限信号空间中通常的小波包，是“绝妙构造”(李建平、杨万年译)。不过，完整的小波包分解树上的数据集，是对被分解信号的相当冗余的描述，而这一特点的开发价值并不算明确。提到某个观点、给出几个数学式，这距离繁复发展的适用技术，常很遥远。

　　被处理序列，实际上常常是有限长的，就自然地限定了可能表达的最大自由度，严密地是有限维复线性空间中的一个点，都可以简便地经历居士建立的离散小波包的处理，若它与另外的研究对象(如某个连续时间函数)之间的过渡联系已知或被附加假定，那么当确有必要时依靠复合映射，处理也可能反映更多含义。至少从这种角度看，居士建立的变换理论、算法以及大量扩充的周期化正交滤波器序列，已是Wickerhauser的著作出版(1994年)后，小波包研发的重要发展。已提议的一些应用例子，需更多细致的检验提升。

　　小波包合成，如果，被给定的初始数据(包括零值)点，都属于同一个小波包基上的全部可能系数的子集，则可称为无冗余合成;如果，数据点，有“父子节点直系”位置关联，或者需要了相同的节点位置而不同的分解，属于至少两组小波包基，即使总点数仍小于所用向量空间的维数，则都归为冗余合成。

　　Wavelab中Mallat 等的“匹配追赶(Matching Pursuit)”、“由满小波包表合成信号(Synthesize signal from full wavelet packet table)”，就可被用为容许冗余的合成技术。

　　与小波包分解的计算流程相比，最佳小波包基搜索(都基于Coifman和Wickerhauser的相同的概念形式)和基的管理以及小波包合成的程序，可更多反映出研发者的思想特点。以前，居士博文中的降噪、重建误差测试等(包括：只存储有小波包域数据，需用双向树来生成完整的数据矩阵)，用到的小波包合成的函数子程序，都不容许冗余。居士曾试过些冗余合成的想法，企图利用不同基的系数的“最佳的程度”以及它们之间的联系特点，而未得满意结果，却在程序中长期保留了并无真正计算的条件语句。现已不再保留它们了，不过，以此短文，报告基于“全树冗余合成”的降噪试验为纪念。

　　试验1：使用最新Tpwp子程序集，重新运行《结合移位(Cycle-Spinning)平均的小波包域降噪的程序》(2013-10-15)中生成 “图片1. 三个典型信号的小波包域7种门限降噪法结合16步移位平均的结果”的旧程序TDen3Signals.sci。

　　试验2：把试验1的TDen3Signals.sci中的参数，Wp.RightShift=1改为Wp.RightShift=[]，即设置于DFT(调工作平台的FFT函数)算法模式，以减小耗时量，并且，为了控制复数，在绘波形图的语句中插入real取实部，在计算序列误差的语句中插入abs取模，而后再运行它。

　　试验3：用与试验2相同的方式，即只用最佳小波包基系数序列，计算阈值;然后，包括所有尺度的分解数据矩阵，包含原始序列，被作为单个向量一样做门限处理。

　　试验4：不选择基，而把包括所有尺度的分解数据矩阵，视为试验2中的最佳小波包基系数系列一样，用于计算阈值和门限处理。

　　试验3、4的主程序，由试验2的程序改成。改变包括: A. 增加语句clear TcyspDenois 和load(‘TreeDenois.bin’)，以重载函数子程序;B. 用语句[xpwpd0]=TreeDenois(xn0,Wp,DenMode1) 替换[xpwpd0]=TcyspDenois(xn0,Wp,DenMode1)实现降噪;C. 在控制小波包变换的结构变量中，增加两个参数域(field)，即Wp.TreeThrUse和Wp.TreeSynAd0。

　　用全树冗余合成以降噪的子程序，在Wp.TreeThrUse为大于零的数时，按上述试验4计算阈值，否者按试验3计算。当且仅当Wp.TreeSynAd0的值是大于零的数时，零节点的数据也参与合成。

　　由不同小波包基合成的部分结果，机械地相加。试验4中，叠加的结果，再除以总的尺度数目后，作为降噪输出。当最佳基系数序列用于计算阈值并经门限处理后的范数为n时，如果，全树合成序列的范数大于n，那么被重置为n，所以标题说“能量守恒定标”(正交变换)。

　　试验1耗时约819秒，在Scilab-5.3.3的命令窗中显示了(format(‘v’,10) 格式)，与2013年时完全相同的结果数字(TestRMSE，未因新子程序集而变化)。

　　试验2与试验1的结果很相近。试验2、3、4，分别约耗时566、1822、1817秒，它们的统计结果分别集中于图片1.的左、中、右三列。可见，在降噪中采用全树冗余合成，当信噪比偏高时，这费时而不得好，但某些情况下(如第二行的信号，低信噪比时)，这可能有点益处。

　　在一些应用中，如果，信号的绝对强度，不重要，那么，降噪后的输出，可以再经幅度或范数的归一化处理，对此而言，基于输出序列的RMSE(显然，对定标因子很敏感)的评价，可能贬低了某些降噪方法。最终令人感兴趣的常是：由序列得出的参数的观测值，偏离理想值的均值、方差，都应尽可能减小。

　　降噪和计算阈值的新函数，已大放宽了，对输入序列能量的限定。用两年前上载的旧程序集时，输入序列中的噪声总能量，应远大于机器精度值，如果，保持信噪比不变，把含噪声的输入序列乘以一个极小的常数(如10的负28次方，噪声标准差远远小于1)，那么，噪声能量阈值法会失败。而今，即使把输入序列乘以10的正或负280次方，在很宽的信噪比范围内，也不见异常结果。“无噪”和“无信号”等极端状况或临界点，已得到更精确的判别和控制，这种调整的影响容易通过试验3显现。据《降噪实验的功率限制以及Donoho阈值的复杂依赖性》(2014-04-12)的图片1.的内容，重新做极高信噪比条件下的测验，可见失真已显著减小，如本文后的图片2.中红线所示。

　　居士仍不明，SURE熵准则的优势，虽然，Matlab的小波工具箱和Wavelab的小波包降噪，都一直陷于SURE。随着小波包被提出，其倡导者早就指出了应用于降噪的可能，不过，长期以来，基于FIR滤波器组的普通小波变换的应用研究，更活跃。

　　图片1. 试验2、3、4的结果曲线图分别在左、中、右三列
　　

　　图片2. 优化能量限制减小极高信噪比时(2014-04-12图片1)失真



转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_729a92140102w259.html