关于分形和混沌关系

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　　分形定义

　　分形难下确切的定义.分形的原意是“不规则的，分数的，支离破碎的”，故又可称为“碎形”.分形是研究自然和社会中广泛存在的零碎而复杂,无序,不规则,非线性,不光滑,具有自相似,自仿射和标度不变性的复杂系统,图形,构造,功能,性质和复杂现象,及隐藏在这些复杂现象背后的,具有精细结构,内在随机性,局部与整体本质联系的,被传统线性科学(物理,欧氏几何学)排斥在外的不规则“病态”,不可微的事体,形体.在尺度变换(放大,缩小)下具有“自相似性”和“标度不变性(无特征长度)”的,从有限认识无限的特殊规律的科学.即其组成部分(局部)以某种方式(结构,信息,功能等广义分形)与整体相似的形体,事物,或现象;或在多个层次上,适当地放大或缩小其几何尺寸，其局部与整体的整个精细结构，形态，性质等不因此而发生改变(统计)的形体，体系、分形是整体与局部在某种意义下：大小尺度之间的对称性与统一性的集合，是非线性变换下的不变性,是整体观(统一观),共性观，非二分法的产物，是有规则的不规则性.分形是没有特征长度，但具有一定意义(广义)下的自相似图形，结构，性质和形态的总称.

　　分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程.也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似.

　　除了自相似性以外，分形具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性.即无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少.但是每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似.这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的自相似特性.

　　分形特征

　　大自然中的山、树、云、海岸线都可以看成是分形.一般地说，分形具有以下一些特征：该集合具有精细的结构，即有任意小比例的细节(无限可分性);该集合整体与局部间有某种自相似性;分形集合的分形维数一般不是整数，而是分数，且一般大于它的拓扑维数;分形集合是如此的不规则，以至它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述;在大多数情况下，分形集合可以以非常简单的方法来定义，可能由迭代产生;通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的..具体的说有下面几个特征.

　　(1)自相似性
　　是复杂系统的总体与部分,这部分与那部分之间的精细结构或性质所具有的相似性,或者说从整体中取出的局部(局域)能够体现整体的基本特征.即几何或非线性变换下的不变性:在不同放大倍数上的性状相似.包括几何结构与形态,过程,信息,功能,性质,能量,物质(组份),时间,空间等特征上,具有自相似性的广义分形.自相似性的数学表示为:f(λr)=λαf(r),或 f(r)～rα.其中λ称为标度因子,α称为标度指数(分维),它描述了结构的空间性质.函数f(r)是面积,体积,质量等占有数,量等性质的测度.

　　一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的,或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似.另外,在整体与整体之间或部分与部分之间,也会存在自相似性.一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式,而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合.但是,表征自相似系统或结构的定量性质如分形维数,并不会因为放大或缩小等操作而变化[这一点被称为伸缩对称性],所改变的只是其外部的表现形式.自相似性通常只和非线性复杂系统的动力学特征有关.

　　人们在观察和研究自然的过程中,认识到自相似性可以存在于物理,化学,天文学,生物学,(中医,针灸,经络)材料科学,经济学,以及社会科学等众多学科中,可以存在于物质系统的多个层次上,他是物质运动,发展的一种普遍的表现形式,即是自然界的普遍规律之一.但是科学工作者真正把自相似性作为自然界的本质特性来进行研究还只是近一,二十年的事.

　　(2)标度不变性(无特征长度)
　　一个具有自相似性的物体(系统,事物)必定满足标度不变性,或者说这类物体没有特征长度.标度不变性是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大或缩小,它的形态,复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化,所以标度不变性又称为伸缩对称性.

　　标度不变性(无特征长度)：具有自相似性的系统,物体,事物必定满足标度不变性,或者说这类形体没有特征长度——没长短，面积,体积等.特征长度是指所考虑的对象中最具代表性的尺度,如空间的长,宽,高,及时间的分,秒,时等.标度不变性是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大还是缩小,它的结构,形态,性质(功能),复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化(或是统计性的),故标度不变性又称为伸缩对称性.此空间称无标度空间，其内是分形,范围以外就不是分形了,它有有限与无限之分.

　　对于实际的分形体来说,这种标度不变性只在一定的范围内适用.人们通常把标度不变性适用的空间称为该分形体的无标度空间.在此范围以外，就不是分形了.

　　(3)层次性,递归性
　　自相似性是不同尺度上的对称,是跨层次的共性观(分形元,不变性)--同样形态在不同尺度,不同层次上的相同,或相似结构的重复构建与变换,其结构套着结构,特征或结构隐含嵌套,具有多层次性和递归性.

　　(4)自仿射性
　　自相似系统是局部与整体在不同方向上的缩放,拉伸的拷贝,其比例都是同一的,是常数.而自仿射系统,其在各方向上的伸缩,拉放拷贝的比例不同.

　　(5)分形元-初始元-生成元
　　是构成分形整体,相对独立的,放大与缩小均不改变,及共同相似的基本部分,即相似单元,相似单位,或是变换中不变性(共性)的共同的,最基本的,简单的结构,性质的单位或单元,是整体与局部共性的统一体.
　　分形性就是分形性质的统合,如自相似性和标度不变性,分数维性等.

　　(6)分形元-支(枝,肢),岔(叉,杈)
　　如五行的“金，木，水，火，土”就是五行分形元的五个分形元支，五杈;阴阳有两个分形元支等.

　　分形图形一般都比较复杂，其复杂程度可用分形维数去定量描述.现在有不少维数的定义，其中最容易理解的且与分形维数有密切关系的是相似维数.一般地说，如果某图形是由把全体缩小为1/a的aD个相似图形构成的，那么此指数D就具有维数的意义.此维数被称之为相似维数.相似维数只对具有严格自相似性的有规分形才适用，使用范围有限.所以定义对所有集都适用的维数是很有必要的.Hausdorff维数就是这样一个最有代表性的维数，它适用于包括随机图形在内的任意图形.如测定某集的测度的单位半径为r,则测定的结果N(r)将满足下式：N(r)=Cr-DH∝r-DH式中的C为常数，则该集的维数为DH,该维数称为Hausdorff维数.不过，Hausdorff维数在许多情况下难以用计算的方法来计算或估计.因此，在实际应用中较少采用Hausdorff维数，而采用便于计算的相似维数等.

　　分形原理

　　(1)自相似原理
　　(2)积和原理: 对S1∩S2=0的分形子集 Df=D1+D2.
　　(3)加和原理: 如果分形子集S1∩S2=S,则Df=D1+D2-d.
　　(4)合并原理: 分形集S=Sa+Sb,Da>Db,则Ds=Da.
　　(5)匹配原理: 若想S1∪S2→S,需D1=D2 (=Ds).
　　(6)级差原理: Si∈S,i是级次(层次).
　　(7)自仿射原理
　　(8)互补原理: S∪S'=U=1,S∩S'=0,S与S'互补.

　　分形几何与解析几何的关系(经络定位)
　　分形几何与欧氏几何类似,是研究或考察物体形状的几何学,不象解析几何可以通过坐标A(x,y,z)进行定位.不过将来的"解析分形几何"应该可以有双重作用.
　　生命现象和社会现象都是复杂现象，具有复杂现象的系统成为复杂系统.如生命繁殖过程是一个复杂的过程，生命系统是一个复杂系统.所有复杂系统都存在三个基本特征：
　　1.复杂系统有许多基本单元(称之为细胞)组成.
　　2.每个细胞的状态只有极少数几种.
　　3.每个细胞的状态随时间的演变只随其邻居的细胞状态决定.
　　例如：雪花的生成过程由其邻居的冰象和汽象决定根据这三个特征，通过各细胞的局部相互作用，整体上可以显示出多种多样的复杂形态.生命繁殖过程也不例外，在计算机上按此三个基本特征可以模拟演示繁衍过程.在繁衍过程中产生大量的艺术图案.

　　产生分形的物理机制
　　一般认为非线性,随机性,以及耗散性是出现分形结构的必要物理条件. 非线性是指运动方程中含有非线性项(迭代),状态演化(相空间轨迹)发生分支,是混沌的根本原因. 随机性分为两大类,即噪声热运动和混沌,它们反映了系统的内在随机性. 而随机性系统未必就是完全无序的.耗散性强调开放性,研究熵变的过程和机制,即传统的无序熵增过程,及未来的有序熵减过程,宇宙的“有序与无序,物质与能量与信息的相互转换的两大循环”.

　　系统产生分形结构的充分条件是“吸引子(Attractor)”,不严格地说, 一个吸引子就是一个集合,并且使得附近的所有轨道都收敛到这个集合上.非线性耗散系统能产生无规运动, 耗散系统的无规运动,最终会成为趋向吸引子的无规运动,而无规运动的吸引子(结果)便是相间的分形结构.奇怪吸引子的产生必须以系统发生的失稳为前提,如对称破缺等. 涨落形成波动,具有周期性的波动,单个周期是简单有序,周期3便是混乱(混沌).

　　分形和混沌关系
　　分形和混沌动力学之间的联系很快就被发现了.混沌的奇怪吸引子都是分形.结构的复杂性使现实世界出现了大量分形几何形体，也使确定性动力学体系出现无规性.奇怪吸引子都有层次的自相似性.无穷相似结构互相套叠起来，就相当于没有规则结构，所以“无穷嵌套的自相似结构”呈现出总体的混沌.非线性动力学系统一旦进入混沌吸引子区域，就会随机地在吸引子内部四处游荡，但又不能充满整个区域，区域内存在着无穷多的随机空隙，从而使整个混沌区出现维数上的“空洞”，呈现分数维数.洛仑兹吸引子就是三维背景空间中的一张分形曲面，其容量维等于2.06;若斯勒吸引子也是三维背景空间中的一张分形曲面.所以，“分形几何学”和“分维”概念已经成为混沌学研究的重要工具.

　　分形与混沌理论的关系密切,多是以自组织系统为其研究对象的,而含义又各不相同.自组织现象,常常是时空有序的结构,是复杂的系统, 用传统的简化方法无法解决.所以,要依靠新的研究复杂性的方法来处理,混沌与分形就首当其冲.混沌中有时包容有分形, 而分形中有时又孕育着混沌.分形更注重形态或几何特性,图形的描述.混沌更偏重数理的动力学及动力学与图形结合的多方位的描述和研究.分形更看中有自相似性的系统,而混沌涉及面似乎更广,对所有的有序与无序,有序与有序现象都感兴趣.特别是混沌中的分叉, 分支现象与分形关系最密切.而有些混沌系统自相似性未必特别显眼, 分形恐怕就难涉足了.分形可以是混沌研究中一种手段或方法等等.总之,目前要较详细和系统地阐明分形与混沌的关系及差异, 还比较困难,还有待混沌与分形理论进一步的深入拓展,完善和趋细.


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