理论力学之动力学问题的通用解法

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　　理论力学有三大模块：静力学，运动学，动力学，其中动力学模块是最有难度的。其难度主要在于其变化多端，每一个题目好像都不好处理，有些题目拿到手以后一点思路都没有，而有些题目在参考书上又有诸多解法，这一点很让人迷惑。过多的解法会让人迷惑，而没有解法则让人心烦。那么对于动力学问题，有没有一种一般的解法可以进行求解呢?

　　经过多年的摸索和总结，我得到一种相对通用的解法。这种解法可以直接解决大多数的问题，我在上课过程中十分强调这种通用解法，但是仍旧有一些同学没有掌握好，在课后又问动力学问题的解法，而且前一段时间也有不少考研同学，问到理论力学的动力学，我感觉仍旧是他们的通用解法没有弄清楚。实际上，对于绝大部分的动力学问题，使用通用解法思路简单明了，并不需要太多的聪明和技巧。所以我决定在这里连续再举几个例子，希望对那些没有掌握好通用解法的同学有所帮助。

　　我们先从一个最简单的例子开始说明问题，这个例子我上课讲过，但是仍旧有不少同学没有弄明白。



　　首先，我们知道，这是一个动力学问题，只知道重力，而A,B点的约束力均未知，而且任意时刻的加速度未知，角加速度也未知。
　　其次，我们明白，对于动力学问题而言，所要求的未知数基本上就是两类
　　(1)约束力。比如这里的A,B两点的支持力。约束力之所以是未知的，因为它们是由主动力所决定的。主动力改变，约束力就会跟着改变。

　　(2)加速度。要么是刚体的角加速度，要么是求某一个点的加速度。我们知道，运动学中有三种刚体的运动：平移，定轴转动和平面运动。其中平面运动最复杂，前面两种可以看成是它的特殊情况，因此我们只关注平面运动好了。对于平面运动而言，使用基点法，可以求出任意一个点的加速度，如下图。



　　这里要求出B点的加速度，如果C点加速度已知，而两个相对加速度都已知的话，那么B点加速度就确定了。

　　这里法向的相对加速度取决于刚体的角速度，而切向的相对加速度取决于刚体的角加速度，即：



　　所以，我们如果知道了刚体的角速度，角加速度，就可以得到这两个相对加速度。
　　总之，只要知道一个基点的加速度，以及刚体的角速度和角加速度，那么按照基点法，任何一个点的加速度都可以求出来。
　　在运动学中，基点可以任意选择，但是在动力学中，质心这个点非常特殊，所以，通常会选择质心为基点。
　　这就意味着，只要我们知道了质心的加速度，刚体的角加速度(积分就是角速度)，那么按照基点法，刚体上任意一个点的加速度都可以求出来。

　　这样，我们明白，对于任意一个刚体而言，它的加速度有三个基本未知数：质心的加速度(大小方向未知，2个未知数)，角加速度(1个，积分就可以得到角速度)。



　　好，言归正传。我们开始使用通用解法来考虑这道题。
　　这个题目要求角速度，角加速度，以及A,B两点的反力。
　　由于角速度可以由角加速度积分而来，所以实际上是三个待求量：角加速度，A,B两点反力。总之，是要求加速度和约束力。
　　现在我们决定，不管它要求什么约束力和加速度，我们都可以求出来，我们就寻找这种通用解法。

　　(1)未知数分析

　　画出该物体的受力图。




　　从该图中知道，有2个未知的约束反力。

　　接着画出加速度。我们只关心质心的加速度和刚体的角加速度。



　　从该图中知道，有3个未知的加速度。
　　所以，该问题的基本未知数是2+3=5个。

　　(2)列动力学方程。

　　这里只有一个刚体，直接使用刚体平面运动微分方程，3个。



　　这样，动力学的方程就列完了，总是这三个方程。
　　由于有5个未知数，而只列了3个方程，所以需要追加5-3=2个方程。
　　这两个方程到哪里去找呢?
　　不管到哪里去找，肯定要离开动力学。
　　这样我们只有两个地方：静力学和运动学。

　　(3)增加方程。
　　静力学里面，只有滑动摩擦定律可以增加。但是它有前提，就是粗糙接触面，且发生了相对滑动。而这里没有摩擦，所以，静力学没有方程可以增加。
　　这样，只有到运动学去找方程。
　　到运动学里面找什么方程呢?

　　就找上面刚体平面运动微分方程中，方程的右边几个加速度关系的方程。特绘制如下。



　　那么如何找这几个加速度的关系呢?
　　由于这些加速度发生在AB上，而AB在做平面运动。要求平面运动刚体上加速度的关系，常用的方法就是基点法。
　　这就是说，要研究两个特殊点之间的加速度关系。
　　这里有三个特殊点,A,B,C三个点，我们就分别研究B与C点加速度关系，A与C点加速度关系好了。

　　首先考察B与C点加速度关系。



　　取B点为基点，研究C点，其加速度图如下



　　则根据基点法表示的加速度关系，有



　　我们列出这个式子的目的，是要得到a(cx),a(cy),a的关系。该加速度关系式中有a(B)，我们并不感兴趣。因此将上式向a(B)垂直的方向，即X方向投影，以避开该变量。

　　得到如下式子



　　也就是



　　这样，我们增加了一个方程，该方程建立了a(cx)，w,a的关系。我们注意到，这里又多出了一个未知数w,即角速度，先不管它。

　　按照类似的方式，我们取A点为基点，研究C点，同样列出矢量式，再投影得到另外一个加速度关系式



　　现在我们追加了两个方程。
　　但是其中又引出了一个角速度。怎么办呢?
　　使用最后一招，用动能定理求角速度。


　　(4)用动能定理求角速度。



　　这样，角速度成为已知量，从而原问题可以求解了。
　　上述方法就是动力学问题的通用解法。

　　总之，动力学问题的通用解法是：



　　小结：本文给出了一个最简单的例子，目的是说明动力学问题的通用解法，后面会再给几个复杂点的例子，进一步说明通用解法的应用。


转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_9e19c10b0101baap.html