关于非线性动力学问题

Fluidmach

　　随着科学技术的发展,非线性问题出现在许多学科之中.传统的线性化方法已不能满足解决非线性问题的要求.非线性动力学也就由此产生. 　　非线性动力学联系到许多学科,如力学.数学.物理学.化学,甚至某些社会科学等. 非线性动力学的三个主要方面：分叉.混沌和孤立子.事实上,这不是三个孤立的方面.混沌是一种分叉过程.孤立子有时也可以和同宿轨或异宿轨相联系,同宿轨和异宿轨是分叉研究中的两种主要对象. 　　经过多年的发展,非线性动力学已发展出了许多分支,如分叉.混沌.孤立子和符号动力学等.然而,不同的分支之间又不是完全孤立的.非线性动力学问题的解析解是很难求出的.因此,直接分析非线性动力学问题解的行为(尤其是长时期行为)成为研究非线性动力学问题的一种必然手段. 　

　　Non-linear Dynamics
　　随着科学技术的发展,非线性问题出现在许多学科之中.传统的线性化方法已不能满足解决非线性问题的要求.非线性动力学也就由此产生.
　　非线性动力学联系到许多学科,如力学.数学.物理学.化学,甚至某些社会科学等. 非线性动力学的三个主要方面：分叉.混沌和孤立子.事实上,这不是三个孤立的方面.混沌是一种分叉过程.孤立子有时也可以和同宿轨或异宿轨相联系,同宿轨和异宿轨是分叉研究中的两种主要对象.

　　经过多年的发展,非线性动力学已发展出了许多分支,如分叉.混沌.孤立子和符号动力学等.然而,不同的分支之间又不是完全孤立的.非线性动力学问题的解析解是很难求出的.因此,直接分析非线性动力学问题解的行为(尤其是长时期行为)成为研究非线性动力学问题的一种必然手段. 真实的动力系统几乎都含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间隙、干摩擦，结构系统中的材料弹塑性、构件大变形，控制系统中的元器件饱和特性、变结构控制策略等。实践中，人们经常试图用线性模型来替代实际的非线性系统，以求方便地获得其动力学行为的某种逼近.然而，被忽略的非线性因素常常会在分析和计算中引起无法接受的误差，使得线性逼近徒劳无功.特别对于系统的长时间历程动力学问题，有时即使略去很微弱的非线性因素，也会在分析和计算中出现本质性的错误.

　　因此，人们很早就开始关注非线性系统的动力学问题.早期研究可追溯到1673年Huygens对单摆大幅摆动非等时性的观察，从19世纪末起，Poincar6，Lyapunov，Birkhoff，Andronov，Arnold和Smale等数学家和力学家相继对非线性动力系统的理论进行了奠基性研究，Duffing，van der Pol，Lorenz，Ueda等物理学家和工程师则在实验和数值模拟中获得了许多启示性发现.他们的杰出贡献相辅相成，形成了分岔、混沌、分形的理论框架，使非线性动力学在20世纪70年代成为一门重要的前沿学科，并促进了非线性科学的形成和发展.

　　近20年来，非线性动力学在理论和应用两个方面均取得了很大进展.这促使越来越多的学者基于非线性动力学观点来思考问题，采用非线性动力学理论和方法，对工程科学、生命科学、社会科学等领域中的非线性系统建立数学模型，预测其长期的动力学行为，揭示内在的规律性，提出改善系统品质的控制策略，一系列成功的实践使人们认识到：许多过去无法解决的难题源于系统的非线性，而解决难题的关键在于对问题所呈现的分岔、混沌、分形、孤立子等复杂非线性动力学现象具有正确的认识和理解.

　　近年来，非线性动力学理论和方法正从低维向高维乃至无穷维发展.伴随着计算机代数、数值模拟和图形技术的进步，非线性动力学所处理的问题规模和难度不断提高，已逐步接近一些实际系统.在工程科学界，以往研究人员对于非线性问题绕道而行的现象正在发生变化.人们不仅力求深入分析非线性对系统动力学的影响，使系统和产品的动态设计、加工、运行与控制满足日益提高的运行速度和精度需求，而且开始探索利用分岔、混沌等非线性现象造福人类。《非线性动力学理论与应用的新进展》主要研究工程系统中的非线性动力学、分叉和混沌理论、控制理论及其应用，重点介绍近几年来国内外的最新进展，包括高维非线性系统的多脉冲全局分叉、时滞动力系统、非光滑动力系统等变非线性动力系统、C-L方法、规范形的计算、非线性随机优化控制、后绝对稳定性、网络结构与动力学、非线性色散波、非线性系统大范围运动动力学、碰撞振动系统、微转子系统、轴向运动弦线和梁的非线性动力学。

　　《非线性动力学理论与应用的新进展》可供高等院校力学、机械、数学、物理、航空航天、土木工程等专业的高年级本科生、研究生阅读学习，也可作为教师和科研人员的参考书。

　　非线性动力学系统的数学称为混沌理论。一个混沌系统可以产生看上去随机实际上却并非真正随机的结果。长期预报是不可能的。混沌理论说：市场不是有效的，但它们也是不可预报的。

　　对于非线性动力学系统的研究和对于复杂理论的研究就是对于紊乱的研究。更准确地说，它是对于从稳定到紊乱的过渡的研究。牛顿物理学能够预测三个世纪后火星在哪，却不能预测后天的天气。这是因为：
　　牛顿物理学是建立在变量之间的线性关系上的。它假定：
　　对于每个因，都有一个直接的果。
　　所有系统都寻求系统在哪里可以安静下来的均衡点。
　　自然是有序的。

　　时钟是牛顿物理学的最好象征。精确地组合到一起的零件，以完美的和谐走向一个可预测的结果。然而，局限性是存在的。牛顿物理学能够解释两个物体如何相互作用，却不能预测三个物体的相互作用。在19世纪的大部分时间里，科学家们都为三体问题所困扰。最后庞加莱说，因为系统内在的非线性性质，这个问题无法求得单一解。庞加莱解释了为什么这些非线性性质是重要的：

　　一个我们根本注意不到的非常小的因可以决定一个我们不可能注意不到的果，而那时我们会说这个果是处于偶然。。。。初始条件的很小差异产生出最终现象的极大不同的这种情况是会发生的。前者的很小的误差导致后者的极大的误差预测变得不可能。。。。。

　　这个效应现在被称为“对于初始条件的敏感依赖”，并且已变成动力学系统的重要特征。一个动力学系统的内在地不可作长期预测。不可预测性是由于两个原因出现的。动力学系统是反馈系统。出来的东西会回去，经过变换，再出来，没完没了。出来变换是指数外，反馈系统非常像复利，他有一个高于1的幂。任何初始值的差别又都会按指数增长。

　　复杂系统的另一个特征牵涉到临界水平的概念。一个经典的例子就是压断了骆驼背的最后一根稻草。骆驼突然垮下来是一个非线性反应，因为在骆驼垮掉和那根特定的稻草之间没有直接的关系。所有的重量的累计效应最后超过了骆驼站直的能力，使骆驼垮下来。

　　动力学系统是反馈系统。混沌动力学系统的关键要素包括：
　　1.对于初始条件的敏感依赖。
　　2.临界水平。
　　3.分形维。

　　经典计量经济学倾向于把经济系统看成是均衡系统(点吸引子)，或以周期方式围绕均衡点变动的系统(极限环)。经验证据对这两种看法都不支持。经济学的时间序列的特征是非周期性循环(没有特征长度或时间标度的循环)。非周期循环容易在非线性动力学系统中出现。
　　对于混沌，计算机变成了一个实验室。用不同的吸引子试验，改变参数和检查结果，设计你自己的吸引子，计算机使得你能够用眼睛去看那些庞加莱只能在脑子里想象的东西。

　　埃农映射：
　　埃农的吸引子是二维迭代映射，当a=1.4 b=0.3时，我们获得了混沌运动。方程如下：
　　x(t+1) =1+y(t) -a*pow(x(t),2)
　　y(t+1) = bx(t)
　　无规则运动在两个序列中都很明显。但结果不是随机的，根据初始点的不同，次序也不同，但结果总是一个：埃农吸引子。改变初始值，所有的值都改变了，看看平面图上的二维空间上的点形成的图形，它看上去一点也没变。无论你选择什么初始值图总是一样的。系统被吸引到这个形状。这个形状是系统的奇异吸引子。

　　它也具有对初始条件的依赖的敏感性。
　　放大埃农映射的一部分，会看到更多的细节;放的越大，显示的细节就越多。就像大多数混沌吸引子一样，这个映射是分形。分形维数是1.26，就像股票收益率的时间序列一样。

　　罗吉斯蒂克延滞方程：
　　x(t) = a*x(t-1)*(1-x(t-2)) 其中a是常数
　　这个方程之所以令人感兴趣是因为它表现出一种叫做霍普夫分叉的行为。一个点吸引子到极限环的变化。当a增加到2.58时，螺旋变得越来越大最终变成了一个闭合的卵形。它的重要性在于它显示了一个非线性动力学系统的行为如何因其控制参数常量a而改变。在经济学和投资金融学中，我们不能固定住控制参数不变，并进行受控试验，如果上涨和下跌的价值的比率是驱动股票市场的“热量”，我们是不能进行试验并在不同的水平上观测其行为的。只能考察历史数据，其中各个时刻的控制参数可能有所变化。因此，在考察经济学和投资学的时间序列时，必须意识到数据可能包含了混在一起的所有可能状态;点吸引子，极限环，奇异吸引子。

　　李雅普诺夫指数
　　对于混沌系统的重要特征——“对于初始条件的敏感依赖”存在两种观点：
　　.第一种观点认为，这个概念描述了确定问题的困难。模型建立者知道运动的正确方程，但由于模型生成的预测的准确性依赖于输入的质量。我们在时间上走的越远，预测就变得越不准确。第二种观点是，系统自身通过混合过程生成随机性，并且在过了某一点之后，丢失了所有关于初始条件的知识。这一解释是“向后看”的。我们现在在哪里依赖于我们曾经在哪里。然而，由于被非线性性质放大的缘故，进化过程可以是如此之复杂，以至于我们不可能回溯其步骤和对系统“消除混合”。关于这种类型的行为有一个常见比喻就是一架拉太妃糖的机器。一滴染料滴到太妃糖中燃料会被拉伸和折叠，直到复杂的条纹出现在太妃糖中，然而，由于对于初始条件的敏感依赖，我们永远不可能消除太妃糖的混合去找回催出的那一滴燃料。这是历史学家有关初始条件的敏感依赖的观点，我们永远不可能以足够的精确性去展开一个系统来找出我们是从哪里来的。

　　这两种观点可以被结合成一个统一体。我们现在在哪依赖于我们曾经在哪，而我们能够多么精确的预报未来依赖于我们对于现在在哪知道多少。一个事件可以无限的影响未来，虽然系统可能只在有限的时间长度内基础这一事件。

　　系统对对于初始条件的依赖的敏感性可以用李雅普诺夫指数来度量。它们度量相空间中临近的轨道发散的有多么快。相空间中的每一个维度都有一个李雅普诺夫指数。
　　一个正的李雅普诺夫指数度量相空间中的伸展;也就是，它度量邻近的点相互之间发散得有多么快。一个负的李雅普诺夫指数度量收缩——一个系统在受到扰动之后需要多长时间才能恢复自己。度量相图回到他的吸引子——在这里是极限环所需的轨道数，或时间量。

　　李雅普诺夫指数提供了一种给吸引子分类的方法。点吸引子总是收敛到一个固定点。因此，一个三维的点吸引子的特征是三个负的李雅普诺夫指数，所有三个维度都收缩进一个点。三维极限环有两个负指数和一个等于零的指数(0，-，-)极限环有两个相互收敛到对方的维度和一个其中的点的相对位置不发生变化的维度。这导致闭合的轨道。最后，三维奇异引子有一个正整数，一个负指数，和一个等于零的指数(+，0，-)正指数显示对于初始条件的敏感依赖，或初始条件的小变化改变预报的倾向。负指数保持发散的点留在吸引子的区域内。对于一个奇异吸引子均衡是有树枝在被带回到一个合理的区域内之前能够发散的多远所定义的。例如对于资本市场的奇异吸引子的一个可能的解释是：情绪和技术因素导致伸展，但基本价值把价格带回到一个合理的区域内。

　　知道最大的李雅普诺夫指数是多少可以告诉我们，我们对于未来时间期间的预报的可靠性如何。我们只能对于一个我们知道其运动方程的系统度量其可靠性。在实际生活中，我们永远不可能知道牵涉到不确定性的所有变量，更不用说运动方程了。



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