关于分形与波浪理论

深蓝梦境

　　分形理论开创人曼德布罗特一九八六年给分形下的定义是：组成部分与其整体以某种方式相似的形态称为分形。举例以明之：一把米尺标有分米，厘米和毫米刻度。如把每一分米含有十个厘米刻度与整个米尺含有十个分米刻度相比较它们是完全相似的。这种自相似性在厘米，毫米层次也都存在。这反映了十进制计数法的自相似性。又如：波浪理论的所谓数学基础------婓波那奇数列何以如此神奇在股市大行其道。这是因为该数列也具有分形结构。该数列的形象陈述是兔子生长问题：一对小兔子假定一个月就能长成一对大兔子;又假定一对大兔子一个月生一对小兔子，那么n个月共有多少对兔子?我们可以用一棵分形树表示它。这棵树会非常直观地表示出婓波那奇数列呈现自相似性，每一枝树杈都与整棵树相似，内含生长机制。且其黄金分割比1.618近似等于股票市场的分形维数(D=1.7)。一棵树可以说是把一段舒缓的时间节律翻译成了空间形态的分形。
　　股票市场的形态也是自相似的。这一点熟悉波浪理论的人很容易理解。《股市动态分析》1998年51期所载艾略特波浪理论给出了两个图形(图73，图74)，一个是小时为尺度，一个以年为尺度。两个图形惊人地相似。柏彻特说：“股票市场的形态无论多大或多小，其基本格局永远不变”。这等于是说：股票市场的形态具有分形结构。曼德布罗特则从数学上严格证明了这一点。(数学过程略)他归纳为两条法则：
　　(1)每个单位时间的股价变动分布，服从于分形维数D=1.7的对称稳定分布。
　　(2)单位时间无论取多大或多小，其分布也是相似的。也就是说适当地改变尺度，就可成为同样的分布。
　　这两条法则的第二条与波浪理论的主张完全一致，即你无论是看分时股价图，还是看日线图或月线图，其基本结构是一致的，都存在八个波段。而第一条法则虽然是从美国股市的统计数据而得到的，却蕴涵着极为重要的信息。

　　布朗运动与分数布朗运动
　　英国植物学家布朗于1827年在显微镜下观察花粉在水中的运动轨迹，他发现花粉的运动极不规则,杂乱无章;后被称为布朗运动。法国物理学家皮兰每隔30秒记录一次布朗粒子的位置坐标，并把相继两个位置点连成线段，结果得到一条复杂无规的折线.这一观察说明布朗粒子的运动轨迹是由方向随机的许多步子组成的，所以本文开头所述的一维随机游走模型可以用来描述布朗运动。即布朗粒子的位置X(t)是时间t的随机函数，可表达为：
　　X(t=nτ)=x1+x2+x3+……xn ( 1 )
　　当时间间隔τ=1时，与抛掷硬币取和式完全相同。控制论大师维纳在研究通信问题时引入了更一般的布朗运动随机函数：
　　X(t)-X(t。)~ξ|t-t。|H ( t > t。) (2)
　　因次,这一随机过程也称为维纳过程。非常重要的是维纳把布朗运动视为信息的对立面，称之为布朗噪音。原因在于布朗粒子的位置增量，在不同时间间隔互不相关，是一独立随机过程。故可作为纯噪音的对应分布。
　　股市中的市场有效性理论，其理论假设之一就是认为股价变动遵从布朗运动或维纳过程，如同醉汉散步。若如此，则从布朗运动的特性可知：股价变动是不可预测的，股价未来的增量与过去增量是无关的。如股市中人说：股市无过去!对于业内人士而言，这一假说简直就是紧箍咒。
　　分形数学的诞生为解开这一紧箍咒提供了强有力的工具。当(2)式中的赫斯特指数H=1/2时，就是通常的布朗运动。曼得布罗特把(2)式中的H值从1/2推广到(0，1)区间的任意实数，从而引进了分数布朗运动概念。则(2)式演变为(3)式，(推导过程略，并用B(t)取代X(t)，以示分数布朗运动与布朗运动的区别)：
　　B(Δt)-B(0)=|Δt |H {B(1)- B(0)}~ |Δt |H (3)
　　(3)式的含义是：分数布朗运动粒子的位置增量与|Δt |H 成正比。这意味着分数布朗运动粒子的位置增量具有长程相关性。可以通过计算过去增量与未来增量的相关系数来定量表达。(推导过程略)其结果为：
　　C(t)=22H-1- 1 (4)
　　而赫斯特指数H与分形维数D之间的关系为：
　　D=2 – H (5)
　　上两式表明：当H=1/2时(D=1.5 )，即是布朗运动，其相关系数C(t)=0 ; 这意味着无论何时布朗运动的过去增量与未来增量毫不相关。这正是独立随机游走过程的特点。然而，对于H≠1/2，则C(t) ≠0.说明分数布朗运动与布朗运动有显著的不同特点。此时的相关系数不受时间t制约，具有无限长的相关长度，这正是分数布朗运动最突出的特点。从维纳的信息观点看，分数布朗运动并非‘纯噪音’分布，而是含有一定的信息量。
　　当H>1/2 (D<1.5 )时，分数布朗运动表现出持久性。此时如果在过去某段时间内增量为正，则在未来平均而言也会增加。换言之，过去的增长趋势就意味着未来有增长的趋势。反之亦然：过去的减少趋势就意味着未来的平均趋势也是继续下降的。根据史永东博士的研究，他统计了沪市1991—1999的综合指数数据，计算出沪市的赫斯特指数H=0.697。则我们据此可以计算出其分形维数D=1.303。并且可计算出股价未来增量与过去增量之间的相关系数：
　　C(t)=22H-1-1= 0.314
　　这就是说，股市运动是一种分数布朗运动。股市不是无过去，而是呈现出很大的相关性，用百分比表示达31.4%。 换句话说，股市的过去蕴涵有未来走势31.4%的信息。这31.4%的信息，正是在中国股市做预测的人士的安身立命之本。请注意中国股市作为新兴市场，是一种正相关关系。
　　当H<1/2时(D>1。5)，分数布朗运动表现出反持久性。此时如果在过去某段时间内增量为正，则在未来平均而言就会减少。换言之，过去的上涨趋势就意味着未来有下跌的趋势。反之亦然：过去的下跌意味着未来有上涨的趋势。美国股市的分形维数D=1.7，正是如此。据此也可以算出美国股市的相关系数C(t)=22H-1-1= -0.242。也就是说，美国股市是一种负相关关系，与我国的股市有很大的不同。但是无论中外股市，都不是有效市场理论所说的是纯粹的随机漫步市场。市场的走势是有迹可寻的，未来与过去是相互关联的。

　　结 语
　　分形数学为股市分析提供了新理论，新方法，极大地拓展了投资者的视野。它廓清了一些以前争论不休的问题，为股市分析预测正了名，使波浪理论的若干认识有了坚实的数学支持。而其得出的股市相关特性则为股价的偱环交替提供了科学解释，而多元可公度关系的存在使得预测成为可能：如螺旋历法曾指出1929年与1987年股灾相隔717个朔望月。事实上，螺旋历法的本质是时间分形。而且分形论所得结果指出了股市历史蕴涵着未来走勢的丰富信息，未来走勢并非‘黑箱’，而是有一定亮度的灰色系统。因此，如何提取信息，不管是何种方法，都应从分形的层次性角度审视这些信息。股市最重要的两项要素是时间和价位，价位的波浪分析实际上是分形分析，但时间分形的分析预测则五花八门。预测学中的多元可公度预测方法和其他方法都是可以有所作为的。



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