材料本构模型及编程-ABAQUS-UMAT（转）

jiangwj

材料本构模型及编程实现：简介

1、什么时候用用户定义材料（User-defined material, UMAT）？

很简单，当ABAQUS没有提供我们需要的材料模型时。所以，在决定自己定义一种新的材料模型之前，最好对ABAQUS已经提供的模型心中有数，并且尽量使用现有的模型，因为这些模型已经经过详细的验证，并被广泛接受。

2、好学吗？需要哪些基础知识？

先看一下ABAQUS手册（ABAQUS Analysis User's Manual）里的一段话：

Warning: The use of this option generally requires considerable expertise. The user is cautioned that the implementation of any realistic constitutive model requires extensive development and testing. Initial testing on a single element model with prescribed traction loading is strongly recommended.

但这并不意味着非力学专业，或者力学基础知识不很丰富者就只能望洋兴叹，因为我们的任务不是开发一套完整的有限元软件，而只是提供一个描述材料力学性能的本构方程（Constitutive equation）而已。当然，最基本的一些概念和知识还是要具备的，比如

应力(stress),应变（strain）及其分量； volumetric part和deviatoric part；模量（modulus）、泊松比(Poisson’s ratio)、拉美常数(Lame constant)；矩阵的加减乘除甚至求逆；还有一些高等数学知识如积分、微分等。

3、UMAT的基本任务？

我们知道，有限元计算（增量方法）的基本问题是：

已知第n步的结果（应力，应变等） ，； 然后给出一个应变增量, 计算新的应力 。 UMAT要完成这一计算，并要计算Jacobian矩阵DDSDDE(I,J) =。是应力增量矩阵（张量或许更合适）， 是应变增量矩阵。DDSDDE(I,J) 定义了第J个应变分量的微小变化对第I 个应力分量带来的变化。该矩阵只影响收敛速度，不影响计算结果的准确性（当然，不收敛自然得不到结果）。

4、怎样建立自己的材料模型？

本构方程就是描述材料应力应变（增量）关系的数学公式，不是凭空想象出来的，而是根据实验结果作出的合理归纳。比如对弹性材料，实验发现应力和应变同步线性增长，所以用一个简单的数学公式描述。为了解释弹塑性材料的实验现象，又提出了一些弹塑性模型，并用数学公式表示出来。

对各向同性材料（Isotropic material）,经常采用的办法是先研究材料单向应力-应变规律（如单向拉伸、压缩试验），并用一数学公式加以描述，然后把讲该规律推广到各应力分量。这叫做“泛化“(generalization)。

5、一个完整的例子及解释

下面这个UMAT取自ABAQUS手册，是一个用于大变形下的弹塑性材料模型。希望我的注释能帮助初学者理解。需要了解J2理论。

SUBROUTINE UMAT(STRESS,STATEV,DDSDDE,SSE,SPD,SCD,RPL,DDSDDT,

1 DRPLDE,DRPLDT,STRAN,DSTRAN,TIME,DTIME,TEMP,DTEMP,PREDEF,DPRED,

2 CMNAME,NDI,NSHR,NTENS,NSTATV,PROPS,NPROPS,COORDS,DROT,

3 PNEWDT,CELENT,DFGRD0,DFGRD1,NOEL,NPT,LAYER,KSPT,KSTEP,KINC)

STRESS--应力矩阵，在增量步的开始，保存并作为已知量传入UMAT ；在增量步的结束应该保存更新的应力；

STRAN--当前应变，已知 。

DSTRAN—应变增量，已知。

STATEV--状态变量矩阵，用来保存用户自己定义的一些变量，如累计塑性应变，粘弹性应变等等。增量步开始时作为已知量传入，增量步结束应该更新；

DDSDDE=。需要更新

DTIME—时间增量dt。已知。

NDI—正应力、应变个数,对三维问题、轴对称问题自然是3（11,22,33），平面问题是2(11,22)；已知。

NSHR —剪应力、应变个数，三维问题时3(12,13,23)，轴对称问题是1(12)；已知。

NTENS=NTENS  NSHR，已知。

PROPS材料常数矩阵，如模量啊，粘度系数啊等等；作为已知量传入，已知。

DROT—对finite strain问题，应变应该排除旋转部分，该矩阵提供了旋转矩阵，详见下面的解释。已知。

PNEWDT—可用来控制时间步的变化。如果设置为小于1的数，则程序放弃当前计算，并用新的时间增量DTIME X PNEWDT作为新的时间增量计算；这对时间相关的材料如聚合物等有用；如果设为大余1的数，则下一个增量步加大DTIME为DTIME X PNEWDT。可以更新。

其他变量含义可参看手册，暂时用不到。

C

INCLUDE 'ABA_PARAM.INC'

定义了一些参数，变量什么的，不用管

C

CHARACTER*8 CMNAME

C

DIMENSION STRESS(NTENS),STATEV(NSTATV),DDSDDE(NTENS,NTENS),

1 DDSDDT(NTENS),DRPLDE(NTENS),STRAN(NTENS),DSTRAN(NTENS),

2 PREDEF(1),DPRED(1),PROPS(NPROPS),COORDS(3),DROT(3,3),

3 DFGRD0(3,3),DFGRD1(3,3)

矩阵的尺寸声明

C

C LOCAL ARRAYS

C ----------------------------------------------------------------

C EELAS - ELASTIC STRAINS

C EPLAS - PLASTIC STRAINS

C FLOW - DIRECTION OF PLASTIC FLOW

C ----------------------------------------------------------------

C

局部变量，用来暂时保存弹性应变、塑性应变分量以及流动方向

DIMENSION EELAS(6),EPLAS(6),FLOW(6)

C

PARAMETER(ZERO=0.D0,ONE=1.D0,TWO=2.D0,THREE=3.D0,SIX=6.D0,

1 ENUMAX=.4999D0,NEWTON=10,TOLER=1.0D-6)

C

C ----------------------------------------------------------------

C UMAT FOR ISOTROPIC ELASTICITY AND ISOTROPIC MISES PLASTICITY

C CANNOT BE USED FOR PLANE STRESS

C ----------------------------------------------------------------

C PROPS(1) - E

C PROPS(2) - NU

C PROPS(3..) - SYIELD AN HARDENING DATA

C CALLS HARDSUB FOR CURVE OF YIELD STRESS VS. PLASTIC STRAIN

C ----------------------------------------------------------------

C

C ELASTIC PROPERTIES

C

获取杨氏模量，泊松比，作为已知量由PROPS向量传入

EMOD=PROPS(1) E

ENU=PROPS(2) ν

EBULK3=EMOD/(ONE-TWO*ENU) 3K

EG2=EMOD/(ONE ENU) 2G

EG=EG2/TWO G

EG3=THREE*EG 3G

ELAM=(EBULK3-EG2)/THREE λ

DO K1=1,NTENS

DO K2=1,NTENS

DDSDDE(K1,K2)=ZERO

END DO

END DO

弹性部分，Jacobian矩阵很容易计算

注意，在ABAQUS中，剪切应变采用工程剪切应变的定义，所以剪切部分模量是G而不是2G!

C

C ELASTIC STIFFNESS

C

DO K1=1,NDI

DO K2=1,NDI

DDSDDE(K2,K1)=ELAM

END DO

DDSDDE(K1,K1)=EG2 ELAM

END DO

DO K1=NDI 1,NTENS

DDSDDE(K1,K1)=EG

END DO

C

C RECOVER ELASTIC AND PLASTIC STRAINS AND ROTATE FORWARD

C ALSO RECOVER EQUIVALENT PLASTIC STRAIN

C

读取弹性应变分量，塑性应变分量，并旋转（调用了ROTSIG），分别保存在EELAS和EPLAS中；

CALL ROTSIG(STATEV( 1),DROT,EELAS,2,NDI,NSHR)

CALL ROTSIG(STATEV(NTENS 1),DROT,EPLAS,2,NDI,NSHR)

读取等效塑性应变

EQPLAS=STATEV(1 2*NTENS)

先假设没有发生塑性流动，按完全弹性变形计算试算应力

C

C CALCULATE PREDICTOR STRESS AND ELASTIC STRAIN

C

DO K1=1,NTENS

DO K2=1,NTENS

STRESS(K2)=STRESS(K2) DDSDDE(K2,K1)*DSTRAN(K1)

END DO

EELAS(K1)=EELAS(K1) DSTRAN(K1)

END DO

C计算Mises应力

C CALCULATE EQUIVALENT VON MISES STRESS

C

SMISES=(STRESS(1)-STRESS(2))**2 (STRESS(2)-STRESS(3))**2

1  (STRESS(3)-STRESS(1))**2

DO K1=NDI 1,NTENS

SMISES=SMISES SIX*STRESS(K1)**2

END DO

SMISES=SQRT(SMISES/TWO)

C 根据当前等效塑性应变，调用HARDSUB得到对应的屈服应力

C GET YIELD STRESS FROM THE SPECIFIED HARDENING CURVE

C

NVALUE=NPROPS/2-1

CALL HARDSUB(SYIEL0,HARD,EQPLAS,PROPS(3),NVALUE)

C

C DETERMINE IF ACTIVELY YIELDING

C 如果Mises应力大余屈服应力，屈服发生，计算流动方向

IF (SMISES.GT.(ONE TOLER)*SYIEL0) THEN

C

C ACTIVELY YIELDING

C SEPARATE THE HYDROSTATIC FROM THE DEVIATORIC STRESS

C CALCULATE THE FLOW DIRECTION

C

SHYDRO=(STRESS(1) STRESS(2) STRESS(3))/THREE

DO K1=1,NDI

FLOW(K1)=(STRESS(K1)-SHYDRO)/SMISES

END DO

DO K1=NDI 1,NTENS

FLOW(K1)=STRESS(K1)/SMISES

END DO

C根据J2理论并应用Newton-Rampson方法求得等效塑性应变增量

C SOLVE FOR EQUIVALENT VON MISES STRESS

C AND EQUIVALENT PLASTIC STRAIN INCREMENT USING NEWTON ITERATION

C

SYIELD=SYIEL0

DEQPL=ZERO

DO KEWTON=1,NEWTON

RHS=SMISES-EG3*DEQPL-SYIELD

DEQPL=DEQPL RHS/(EG3 HARD)

CALL HARDSUB(SYIELD,HARD,EQPLAS DEQPL,PROPS(3),NVALUE)

IF(ABS(RHS).LT.TOLER*SYIEL0) GOTO 10

END DO

C

C WRITE WARNING MESSAGE TO THE .MSG FILE

C

WRITE(7,2) NEWTON

2 FORMAT(//,30X,'***WARNING - PLASTICITY ALGORITHM DID NOT ',

1 'CONVERGE AFTER ',I3,' ITERATIONS')

10 CONTINUE

C更新应力，应变分量

C UPDATE STRESS, ELASTIC AND PLASTIC STRAINS AND

C EQUIVALENT PLASTIC STRAIN

C

DO K1=1,NDI

STRESS(K1)=FLOW(K1)*SYIELD SHYDRO

EPLAS(K1)=EPLAS(K1) THREE/TWO*FLOW(K1)*DEQPL

EELAS(K1)=EELAS(K1)-THREE/TWO*FLOW(K1)*DEQPL

END DO

DO K1=NDI 1,NTENS

STRESS(K1)=FLOW(K1)*SYIELD

EPLAS(K1)=EPLAS(K1) THREE*FLOW(K1)*DEQPL

EELAS(K1)=EELAS(K1)-THREE*FLOW(K1)*DEQPL

END DO

EQPLAS=EQPLAS DEQPL

C

C CALCULATE PLASTIC DISSIPATION

C

SPD=DEQPL*(SYIEL0 SYIELD)/TWO

C

C 计算塑性变形下的Jacobian矩阵

FORMULATE THE JACOBIAN (MATERIAL TANGENT)

C FIRST CALCULATE EFFECTIVE MODULI

C

EFFG=EG*SYIELD/SMISES

EFFG2=TWO*EFFG

EFFG3=THREE/TWO*EFFG2

EFFLAM=(EBULK3-EFFG2)/THREE

EFFHRD=EG3*HARD/(EG3 HARD)-EFFG3

c...

if (props(7).lt..001) go to 99

c...

DO K1=1,NDI

DO K2=1,NDI

DDSDDE(K2,K1)=EFFLAM

END DO

DDSDDE(K1,K1)=EFFG2 EFFLAM

END DO

DO K1=NDI 1,NTENS

DDSDDE(K1,K1)=EFFG

END DO

DO K1=1,NTENS

DO K2=1,NTENS

DDSDDE(K2,K1)=DDSDDE(K2,K1) EFFHRD*FLOW(K2)*FLOW(K1)

END DO

END DO

c...

99 continue

c...

ENDIF

C将弹性应变，塑性应变分量保存到状态变量中，并传到下一个增量步

C STORE ELASTIC AND (EQUIVALENT) PLASTIC STRAINS

C IN STATE VARIABLE ARRAY

C

DO K1=1,NTENS

STATEV(K1)=EELAS(K1)

STATEV(K1 NTENS)=EPLAS(K1)

END DO

STATEV(1 2*NTENS)=EQPLAS

C

RETURN

END

c...

c...子程序，根据等效塑性应变，利用插值的方法得到对应的屈服应力

SUBROUTINE HARDSUB(SYIELD,HARD,EQPLAS,TABLE,NVALUE)

C

INCLUDE 'ABA_PARAM.INC'

C

DIMENSION TABLE(2,NVALUE)

C

PARAMETER(ZERO=0.D0)

C

C SET YIELD STRESS TO LAST VALUE OF TABLE, HARDENING TO ZERO

C

SYIELD=TABLE(1,NVALUE)

HARD=ZERO

C IF MORE THAN ONE ENTRY, SEARCH TABLE

C

IF(NVALUE.GT.1) THEN

DO K1=1,NVALUE-1

EQPL1=TABLE(2,K1 1)

IF(EQPLAS.LT.EQPL1) THEN

EQPL0=TABLE(2,K1)

IF(EQPL1.LE.EQPL0) THEN

WRITE(7,1)

1 FORMAT(//,30X,'***ERROR - PLASTIC STRAIN MUST BE `,

1 `ENTERED IN ASCENDING ORDER')

CALL XIT

ENDIF

C

C CURRENT YIELD STRESS AND HARDENING

C

DEQPL=EQPL1-EQPL0

SYIEL0=TABLE(1,K1)

SYIEL1=TABLE(1,K1 1)

DSYIEL=SYIEL1-SYIEL0

HARD=DSYIEL/DEQPL

SYIELD=SYIEL0 (EQPLAS-EQPL0)*HARD

GOTO 10

ENDIF

END DO

10 CONTINUE

ENDIF

RETURN

END

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