论内聚力理论、扩展有限元法与西天取经！（原创）

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    经过几年的学习，需要静下心来做一点总结了，做了10多年的有限元，如果不是兴趣的话，坚持不到现在。有限元分析对数学和编程能力要求比较高，涉及面非常广泛，一个人一辈子也学不完，孙悟空取经道路艰难，这么任性，可是最后也只从如来佛祖那里取到部分经卷。有限元分析的精髓真的不是玩玩几个有限元软件就能学会的，也不是买来一堆有限元书就可以，还是要躲在深山老林里面潜心修炼，不断琢磨钻研，能悟出一些哲理来。我记得我的一个普林斯顿大学的朋友说，如果不做数值计算，那就是科学，只有做了数值计算，才是工程。当然少数情况简单的工程问题用解析解也未尝不可。但是，要实现理论的普遍应用，那就只能靠数值计算咯。
    有限元就是这么一个强大的工具，虽然发展只有50多年的时间，但是已经证明其足够强大，解决了很多重要工程问题。然而，常规有限元其实很脆弱，心太软，本质上是依赖于网格的，很多问题解决不了，局部化问题就不要说了，就是简单的裂纹扩展问题就很麻烦，很多前辈用自适应的网格技术，非常费劲，裂纹扩展方向需要借助裂纹尖端应力强度因子这老人家来帮忙，太费劲了，求个J积分还要把裂纹尖端附近的闺房网格打扮得非常漂亮，姑且如此，裂纹扩展还只能朝着单元边界走，硬汉还不能随便闯入单元香闺内部，因为形状函数无法插值单元内部不连续。因此，常规有限元遇到界面不连续的问题就头疼，尤其是位移不连续，裂纹问题，单元家庭内部出现矛盾必须找神仙来帮忙。
    近年来发展的内聚力理论，很多人说是天才的想法，可以说做断裂力学不做内聚力真的有点落伍了。从变分原理来说，内聚力就是连续本构在不连续界面的一种投射关系，是牵引力和位移跳之间一种假想的关系，它的出现可以说革新了界面断裂力学理论以及人们对断裂新的理解，因为它是基于弹塑性断裂力学理论发展起来的。然而，取经路上，妖怪多多，用内聚力模型要多加小心。我们知道，这个世界没有无缘无故的能量，神仙也有肚子饿的时候，裂纹扩展是需要能量驱动的，孙悟空去西天取经，裂纹要扩展正是需要突破施加于不连续表面的牵引力-展开位移这个假想的拦路妖怪，这个表面能就是曲线下面的面积，这样就把能量与本构联系起来了。对于界面裂纹扩展，表面能通常可以通过各种先进的试验或者各种理论（比如梁板理论）获得。
    值得指出的是，正是这个天才的想法，裂纹如何来的这个问题也可以假想解决，不管怎么假想出来的，总是出来了，孙悟空石头缝里面钻出来的大家也认了，这就是内聚力理论最强大的地方，同时预测裂纹萌生和扩展，否则只是裂纹扩展的话其他理论也可以，比如虚裂纹闭合技术。当然这些技术和理论都逃不了需要表面能或断裂能来帮忙，否则再强大的内聚力模型也找不到北、无从下手。基于内聚力理论，目前发展了各种形状的内聚力模型，著名的如加州理工ORTIZ院士的幂指数内聚力模型和单线性内聚力模型、布朗大学Xu和Needleman院士基于势的幂指数内聚力模型，哈佛大学Tvergaard和Hutchinson院士的梯形内聚力模型，葡萄牙Camanho等和英国帝国理工Alfano和Crisfield院士的双线性内聚力模型等，可以说各种模型百发齐放应用于界面断裂力学研究中。但是一个强大的理论总是不可能一个人来独享，从哲学角度看，独乐乐与人乐乐，大家一起享用更好，因为西天路上妖怪太多了，大家都想吃点唐僧肉，可是因此真实的裂纹扩展不知道需要突破哪种内聚关系，很难说孙悟空再取一次经应该选哪个模型，因此各路神仙都是孙悟空取经路上学习的榜样，尽管现在有一些技术可以测量一些混合模式的界面断裂过程区的形状和参量，但是杯水车薪。因此，对于具体的界面断裂问题，我们就是从神仙哪里取经，选一个很好对付的妖怪，不管悟空还是八戒，适合自己的内聚力模型就可以，只要能取到真经就可以，虽然最后也没有取到完美的经卷，因为内聚力只是有限元断裂力学理论发展中的一个阶段而已，毕竟只是唯象的模型，不是真实的，是假想出来的。等啥时候出现一个比内聚力更强大的理论，估计可以取到99%的真经了。
   当然问题来了，内聚力的实现用有限元的话，各种数值问题来了，妖怪发威的话孙悟空西天路上也不是一帆风顺的，要达到高效、准确和强健的数值结果，绝非易事，即使孙悟空有72般变化和金箍棒，可是还是要完全把孙悟空的有限元技术发挥出来，解决一些数值问题，绝对也是麻烦的事情。比如，第一，收敛性是隐式有限元的trouble，这个妖怪够狠，因为内聚力的刚度进入软化后是负值，隐式有限元招架不住，出现了收敛性问题，这在有限元理论里面叫做SNAP-BACK问题，孙悟空72变化不够了，必须要求助各路神仙了，比如英国帝国理工Crisfiled和RIKS院士等提出的弧长法，尽管理论是好的，但是数值效率仍然低，因为每次迭代必须求解弧长半径与节点位移增量之间的额外的约束方程，类似于摩擦接触问题，仍然是trouble，数值不够强健，这个神仙还不是最牛的。
    相比，用得最多的是引入粘性效应到有限元残余方程，这个神仙相对现实一些，有点像弥勒佛，但是潜在的妖怪是粘性效应不能大也不能小，既要保证收敛，也要保证准确性，因此每次用粘性规划方法都要评估这个问题，否则不知道弥勒佛指点给你的是不是真经，笑里藏刀也是可能的，你以为有收获，其实妖怪一直在后面跟着。当然，也有一些神仙用显式有限差分来实现内聚力，未尝不可，但是误差更大，到时候取到的真经会分量更低。第二，网格敏感性问题，由于内聚力的软化本质，界面断裂进入局部化阶段，引入了一个尺度比例，江湖人称“内聚区长度”。甚至，不同界面断裂模式还有不同的内聚区长度，这个尺度需要仔细评估，这个妖怪也够狠，增加了太多麻烦，否则也取不到真经，数值计算的结果不准确，只能让八戒去高老庄娶媳妇生儿育女，唐僧留在女儿国了，那样也可以，至少有个结果出来。很多学者求助于裂纹尖端的应力场和能量场来评估这个长度，但是因为这些方法都是建立在线弹性断裂力学理论基础上的，所以只能近似评估。后来也有很多神仙帮忙给了很多指点，但是也只是近似的，没有绝对的公式。
    好了，唐僧师傅只会念经，遇到妖怪没辙；西天路上取经，很多时候要靠孙悟空自己来领悟，光靠神仙也不行，遇到具体的妖怪要随机应变来对付，这个内聚区的长度只能具体问题具体分析了。解决了上述两个关键数值问题，搞定了妖怪首领，但是还是存在一些其他一些妖怪，比如载荷响应虚拟跳的问题，也是由于网格不够密导致的，这个好办，网格弄密一点就可以，不需要求助神仙，计算机争气一点就可以了，当然有些神仙也提出了一些高阶的理论来解决，那是大材小用了。从上可见，虽然妖怪凶凶，但是总是有对付的办法，因为这些妖怪都是菩萨的手下，都是假假的，虽然不能完全消灭他们，至少可以赶走，让菩萨领回家去。
    好了，内聚力的理论和故事说不完，但是内聚力的问题在哪里呢，刚才说了，不能闯入单元香闺内部，人家闺女不能一辈子不嫁人呀，八戒据说取到真经后也回到高老庄生儿育女了，单元可以生成子单元了。好了，这下生儿育女的事情还得求助于神仙了，西北大学TED院士总结一系列研究成果，提出了XFEM扩展有限元的思想，其是基于PARTITION OF UNITY的思想，在单元节点上引入不连续位移，形状函数后面多加了两个插值函数，界面裂纹位置完全可以由单元节点投射来确定，这个思想彻底革新了常规有限元。
    这样，八戒裂纹可以任意闯过单元香闺内部了，当然不能随便闯入的，需要按照一定的方向，这个方向通常由裂纹尖端这个唐僧带头取经的应力强度因子的组合确定，当然裂纹尖端还可以留在任意单元香闺内部。不过这样很累，因为每次裂纹要进入香闺需要付出很大的代价，计算裂纹扩展方向，但是媳妇就不知道八戒这个裂纹是怎么出来的，心里不踏实，裂纹萌生问题解决不了，当然希望是天蓬元帅而不是猪无能，这样人家翠兰嫁人也风光点，另外八戒可以不突破任何内聚力妖怪可以随便走，想去哪个香闺就去哪里，太爽了，估计翠兰不会答应，但是能在香闺里面呆多久要看翠兰了。
    相比，基于强不连续性的分析，位移不连续，基于声张量的奇异性也可以指导八戒怎么去哪个香闺，而且可以让媳妇知道这个八戒是怎么来的，不需要唐僧这个裂纹尖端来指导了，因为现实也没有所谓的唐僧这个尖端，只有断裂过程区，即是他带领的团队（见2015年IJSS论文）。基于强不连续分析，XFEM的作用体现出来了，但是需要付出的代价是八戒需要突破一些妖怪，需要突破裂纹表面的内聚力，这就是所谓的把内聚力嵌入在XFEM的框架内，实现从裂纹萌生到任意路径扩展，但是八戒只能停留在香闺外面，因为这个时候J积分不再守恒，因此要进去的话有些麻烦，至少必须经过高老庄丈母娘的同意，当然如果不想进去的话留在单元边上也可以的，毕竟香闺不能随便闯入的，路过是可以的。

Liu PF. Extended finite element method for strong discontinuity analysis of strain localization of non-associative plasticity materials. International Journal of Solids and Structures, 2015, 72: 174-189. (Completed at Princeton University).

浙江大学 刘鹏飞 2015年8月12号 于求是园

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