理解波动系列算例（三）：Wave-mode duality，以悬臂梁为例.

Rainyboy

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算例（三）：wave-mode duality （以悬臂梁为例）
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关于wave-mode duality （姑且直译为 波-模态二相性吧），在一些帖子里讨论过一些，比如：振动和波动有什么区别和联系。问题的核心在于，正如这个系列算例开始时所说的那样，什么是波？它与有限结构的动力特性（固有振动，强迫响应）等的联系是什么？ 在这个帖子里，我将会用一个悬臂梁的强迫稳态响应来展示这个问题。在展示具体结果之前，我想引用一下以前散落在各处的，关于我自己对这个问题的看法：

1，正如大家所说，振动和波动是同一个物理现象的两种描述方式。但我认为这两种提法与所分析的结构的大小（有限大，无限大）有关。也就是我感到这两种描述方式有各自的常用环境，似乎在有限大小的结构分析中，振动术语提得多一些；而在考虑无限大小的结构分析中，波动术语提得多一些。

2，当然，“有限”和“无限”也是相对的，随着分析频率的提到，也可以认为实际上是有限的结构作为了“无限”结构进行分析。所以大概也可以说“无限大”通常可理解为“高频”或“不考虑边界反射”的“有限大”结构。

3，这两种提法，我认为实际上来源于不同的求解方法。在有限结构的“振动”的求解中，所面临的问题是偏微分方程的初-边值问题，通常用的是坐标分离法（模态叠加法），一般解被表示为多个模态振动的叠加；而在无限结构的“波动”求解中，偏微分方程的求解域是无限的，通常采用的是坐标变换（傅里叶变换法），一般解被表示为多个简谐波形的叠加。

4，这两种求解方法所得的结果是可以相互转换的，也就是说可以用求解“无限域”的方法来求解“有限域”的响应，其关键在于处理边界上的反射（4-1）。也可以用求解有限域的方法来求解无限域的响应，其关键也在于如何恰当地“取消”边界的反射（4-2）。

5，对于问题4-1，常用的数值工具之一是波有限元方法（Wave and finite element method，缩写WFEM），在计算有限域的响应时所用的基本位移形式并不是模态，而是一系列传递的波（propagation wave）。其求解过程类似于传递矩阵法，只不过在计算时同时考虑了边界对这些波的相位的影响。这方面的工作英国University of Southampton的B. R. Mace, D. J. Meed等等做的很多，我国的钟万勰院士也对这一方法作出了非常重要的贡献(W. X. zhong, F. W. Williams, 1994)。

6，对于问题4-2，常用的数值工具之一是人工边界条件（Artificial Boundary Condition，缩写ABC），最开始的出发点是通过在边界上布置一系列弹簧-阻尼-质量单元来模拟远场对进场的反作用，从而在对无限域的分析中只需要对近场进行建模。这方面的工作据我所知北方科技大学的杜修力和赵密（应力型ABC），还有廖振鹏院士（位移型ABC）等等的工作。

以及：

其实就题目问题“波动和振动有什么区别”而言，我觉得是：

有“振动”的地方就有“波动”，反之亦然，它们就是同一个现象：结构的自由或受迫反应

对于这个观点，同志们也许有这样两个反例：

1，对于单自由度系统，不就只有振动现象没有波动现象吗？
2，对无限结构，不就只有波动现象而没有共振（振动现象的最典型体现）现象吗？

对于这两个论点，我的意见是：

1，单自由度系统（哪怕是你真的搭一个弹簧-质量块系统）在现实中是不存在的，所谓的“单自由度”更准确的说法应该是指“只考虑有限结构的某一阶模态”的一种简化。而模态——或“固有振型”，不恰恰是波动现象的一个特例——驻波吗？所以，单自由度系统既是振动范畴的一个特例（只考虑一个模态），也是波动范畴的一个特子（只考虑一种波的驻波）。而书本上常用的弹簧-质量模型只是一个粗糙的示意图（恕我直言，这也许正是阻碍同志们深入理解波动现象的罪魁祸首：因为这个示意图从直观上排除了振动所具有的“波”的那一面），真的在现实中搭起弹簧-质量模型，也会具有很多模态的，也是可以观测到波（在弹簧中和在质量块内部）的传播的。

2，无限结构也有共振，很多同志可能认为“无限结构没有共振”仅仅是因为“无限结构的共振无法直观地通过手边的分析工具得到”而已。就用兄台举例的铁轨为例，是一个典型的无限周期结构（infinite periodic structure），这样的结构在频散曲线（dispersive curves）上的典型特征是具有通带(pass band)和禁带（stop band），对于在禁带中的波，其群速度（group velocity）是0，这意味着能量的传递速度也是零（无阻尼系统的群速度和能量传播速递一致是经过严格证明的）——也就是说这种波所携带的能量将不能通过弹性波从近场传递到远场，这样很可能会导致驻波（也就是共振）在近场的形成，如果你在原点对这样的无限周期结构进行激励，并将激励频率设置到禁带，那么在所获得的频响曲线上将同样具有趋向于无穷大的峰值。与具有鲜明边界条件的有限结构不同，无限周期结构对波的“全反射”并不是一次性发生的，而是在经历了多个周期之后将绝大部分的能量反射回近场。


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振动和波之间具有的这些迷人的联系在学界也是常有讨论的，还有一个名字，叫“wave-mode duality”（波-模态 二象性），关于这二者的关系，大概有如下论点（来自 http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-015-9173-7_1 ）：

Lyon and DeJong [1]: “we must emphasise that it is always possible, at least in principle, to arrive at the same conclusions by either [the wave or mode] approach”;
(我们要再次强调的是，至少在理论上，分别用振动理论和波动理论获得相同的结论总是可能的。)

Fahy [2]: “just how pure standing wave fields can be created in any elastic system, by reflection of waves from boundaries of arbitrary geometry, is something of a mystery”.
(通过边界对弹性波的反射，任意形状的弹性结构都可以形成纯粹的驻波，简直是一个奇迹。)

[1] Lyon, R. H., and DeJong, R. G.: Theory and Application of Statistical Energy Analysis, Second Edition, Butterworth-Heinemann, Boston, 1995.
[2] Fahy, F.J.: Sound and Structural Vibration: Radiation, Transmission and Response, Academic Press, London, 1985.

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最后，跟大家分享一个我自己的另一个思考：

既然这两者就是一个东西，为什么会有一套“振动理论”，还有一套“波动理论”呢？

我目前的体会是，因为它们要解决的问题有各自的侧重点。

经典振动理论的关注点在于共振。为此，它将研究对象从他所处的环境中隔离出来，赋予合适的位移边界条件，使其成为有限结构。还在于用有限的模态坐标表征具有大量自由度、甚至无限自由度的系统，直接简明的预测了结构的共振现象。模态坐标的使用使得这套理论在预测共振频率和响应方面非常直观。由于对共振和位移场细节的准确把握，这套理论通常被用来校核强度（应力水平）、计算裂纹扩展、疲劳寿命等等。

波动理论的关注点在于“近场”和“远场”的能量交换。什么样的波能从近场传递到远场？传得多块？传了多少？被反射了多少？传递过程中的衰减有多少（有阻尼情形）？为了保证“远场”的任意性，总是假设近场与一个无限大的远场相连（比如在有关地震的研究中），或远场就是近场的无限重复（在周期结构的研究中）。由于主要关注的点是弹性波，换言之就是结构中的声音，因此与之相关的应用是降噪、无损探伤等等。


或者粗糙一点说，如果你关心你设计的东西会不会坏，多半你会用振动理论和术语（共振、应力、寿命）多一些；如果你关心你设计的东西噪音水平怎么样，多半你会用波动理论和术语（传递损失, 频散曲线, 禁带, 通带）多一点。

这里我们考虑这样一个问题，一个悬臂梁，一点受载荷，怎样求解它的稳态响应？
这里展示两个方案：
1. 偏“振动”的方法是模态叠加法，即先求解结构的自由振动，再将强迫响应表示为自由振动的线性叠加，最后确定各阶模态的系数。
2. 偏“波动”的方法是先求解无限域自由波动问题，将强迫响应表示为弹性波的叠加。再将激振力、边界条件等都转换到波空间中，已确定系数。

上述两种方案都可以解析地处理，具体过程就不赘述了，方法1可参考任何一本振动力学书。方法2应该也有专著，但可以参考如下论文：
Waki Y, Mace BR, Brennan MJ. Numerical issues concerning the wave and finite element method for free and forced vibrations of waveguides. J Sound Vib 2009;327(1-2):92–108. Doi: 10.1016/j.jsv.2009.06.005.

最后，上结果吧：


模态叠加求解：








波动方法求解：




注意两个方法得到的强迫响应结果完全一致。模态叠加法用的是一组同步的，各自分别满足边界条件的基函数去表示振动。而波动方法则是一组不同步的，单独不满足边界条件的基函数去表示振动。

大家一起玩味一下吧。


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下集预告：没有具体计划了，因为基本点上应该都清楚了，再说就涉及未发表的结果了。
“理解波动”系列就先到这里吧：）
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系列链接
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“理解波动”系列算例（一）：在有限结构上算出“波动” （同时包含对这系列算例的一些说明）
“理解波动”系列算例(二)：将无限域波动解映射到有限域
理解波动系列算例（三）：Wave-mode duality，以悬臂梁为例.

启程扬帆

受益匪浅~