2006年亚太地区断裂与强度学术会议（APCFS'06）

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哈密尔顿系统的一个重要问题就是稳定性问题,这类问题在几何上的特点是:他的解在相空间上是保测的,其特征方程的根是纯虚数,所以不能用Poincare,Liapunov渐近稳定性理论,而必须用KAM定理来加以研究,这是一种关于整体稳定的论断,是牛顿力学发展史上最重大的突破. 辛几何在数值分析中的应用是冯康于1984年在北京召开的国际微分几何和微分方程会议上首先提出的.它是基于分析力学中的基本定理:系统的解是一个单参数的保测变换(辛变换),从而开创了哈密尔顿力学计算的新方法.
KAM定理

1960年前后，前苏联数学家柯尔莫果洛夫（Kolmogorov，A.N.）、阿诺德（Arnold，V.I.）和莫塞尔（Moser，J.）提出并证明了以他们的姓氏的字头命名的KAM定理。这个定理的基本思想是1954年柯尔莫果洛夫在阿姆斯特丹举行的国际数学会议上宣读的《在具有小改变量的哈密顿函数中条件周期运动的保持性》短文中提出的。后来他的学生阿诺德做出了严格的证明，莫塞尔又推广了这些结果。


假定系统的哈密顿函数分为两部分
H = H0(Ji) + εV(Ji,θi)



其中H0部分是可积的，V是使H变得不可积的扰动，只要ε很小，这就是一个弱不可积系统。KAM定理断言，在扰动较小，V足够光滑，离开共振条件一定距离三个条件共同成立下，对于系统的大多数初始条件，弱不可积系统的运动图象与可积系统基本相同。可积系统的运动限制在由N个运动不变量决定的N维环面上，而弱不可积系统的绝大多数轨道仍然限制在稍有变形的N维环面上，这些环面并不消失，只有轻微的变形，称为不变环面。不过，只要有非零的扰动，总会有一些轨道逃离不变环面，出现不稳定、随机性的特征。

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　发信人: njudragon (想学就学), 信区: Mathematics
标 题: 关于经典KAM理论(随便说说)
发信站: 南京大学小百合站 (Wed Aug 20 22:06:31 2003)

Q：KAM代表什么?
A：KAM理论是经典力学里讨论近可积保守系统(哈密顿系统，可逆系统，保体积映射)的动力学性态的著名的理论。K ，A，M 分别代表公认的于上个世纪五六十年代创立该理论的三位数学家，他们是:俄罗斯数学家 Kolmogorov和 Arnold，以及德国数学家 Moser. 此三人都是 Wolf 数学奖得主, 其中只有年龄最小的 Arnold 尚在人世。

Q：可积的哈密顿系统是什么样子?
A：大家都知道经典力学中的哈密顿系统，其重要性大家也都知道。
对于可积的哈密顿系统，其相空间中解的性态是非常清楚的，简单的说，在适当选取(不破坏哈密顿系统典则形式)相空间的坐标之后，可积系统的相空间总可以用不变环面来分层(或者说具有叶层构造)，而且每个环面都具有与自由度相同的维数。例如，相空间是 2N 维的，则自由度为 N，因此2N 维空间就被无数互不相交的 N 维环面所划分(直观地，你可以想象二维平面被无数的同心圆所划分的样子)。这里的环面称为是不变的，是指相流只能在该环面上走因此，每个环面都是相流的不变集。而且可积系统的每个环面上的相流是非常简单的，都是形如 q(t)=q(0)+w*t 的线性流，而 w 就称为环面的频率。另外，我们还要考虑到能量守恒，因此任何相流又只能在一个等能面上走，一般来说，等能面是相空间中的余维数是一的曲面，实际上每个等能面也就被上述的不变环面所划分。这样可积的哈密顿系统可以说是被我们完全了解的。

Q：不可积的哈密顿系统又是什么样子?
A：直到现在也不完全清楚，也许永远也搞不清。但是由已知的东东出发探索未知的方法提醒我们应该先去了解充分接近可积的系统是什么样子。

Q：经典的KAM理论讲些什么?
A：经典的KAM理论就是要告诉大家充分接近可积的哈密顿系统相空间大致是什么样子。其实，我们总可以把一个接近可积的哈密顿系统看作是一个可积系统加上一个保守的(哈密顿的)扰动。Kolmogorov 在1954年世界数学家大会上指出：非退化的可积系统在保守的微小扰动后，虽然某些不变环面一般说来会被扰动破坏掉(称为共振环面)，但仍会有相当多的环面被保存下来，也就是说整个相空间中仍然有许多的相流的运动是非常简单的(直观地，可以想象二维平面虽然没有被同心圆分层，但仍有许许多多的同心圆保存了下来，每个圆上的相流都共扼于一个旋转，只是相邻的两个同心圆之间相流的运动会比较复杂一些)。这个发现后来被 Arnold 和 Moser 分别给予了严格的证明。Arnold 则称此结果为Kolmogorov 定理(Arnold 最恨俄罗斯数学家的成果被西方资本主义国家的数学家无偿掠夺了)。但是，由于 Kolmogorov 定理并没有能刻画在扰动后破掉的环面上相曲线的性态，因此我们只能说大致了解了近可积系统相空间是什么样子。

Q：证明 Kolmogorov 定理用的是什么方法?
A：改进的牛顿迭代法。粗略的讲，就是找一系列的典则变换(不破坏哈密顿方程的式)一步步地变换近可积的系统使之越来越靠近一个可积系统(只要对参数的大部分点能做到就行)。由于在迭代过程中会出现所谓的“小分母”，用通常的牛顿迭代法无法保证最终无穷多步变换的复合收敛，但 Arnold 和 Moser 利用改进的牛顿迭代方法克服了小分母带来的麻烦，从而完成了定理的证明。值得指出的是，另一位德国的著名 数学家 Sigel 早年在考虑圆周映射的线性化时，也曾提出过类似的证明思想，而Moser 和 Sigel 关系密切，相信多少也会受到他前辈的一些影响，所以可以说 KAM 理论的创立也应该有 Sigel 的一份功劳。后来，Moser 在降低该理论对可微性的要求上又作出了一些重要的工作(不过有好事者说 Moser 在这方面的工作有错)，殊途同归，John Nash 在他证明有关黎曼嵌入的论文中，也用到了类似的迭代方法(当然是独立完成，甚至可能早于Moser)， 于是，后人又把他们的证明方法叫做 Nash-Moser 迭代。

Q：为什么说 KAM 一出，遍历性假设不攻自破?
A：曾经的遍历性假设是猜测：通有的哈密顿系统，相流是遍历的。由于可积系统不是通有的系统(一般的系统都是不可积的)，因此由相流不遍历的可积系统并不能否定遍历性假设，但是我们知道近可积系统却是通有的。如果我们考虑 4 维的相空间，其等能面是三维的，如果该近可积的系统有不变二维环面存在，则此环面必将能量面的其余部分分割为不连通的两块，相流不可能从环面一边跑道另一边，所以也就不会有何遍历性可言。不知道当年 Fermi 是怎么证明了遍历性假设的。不过据说他开密码锁也是一把好手。

Q：共振环面破裂后到底会怎样?
A：这个问题仍没有完全解决。目前大家都比较清楚的是：一般会有较低维数的环面存在(分椭圆环面，双曲环面等)，也就是说仍然还有比较规则的相曲线;同时还会有一些很不规则的轨线，有人称之为 Mather 集;甚至还有所谓的“马蹄”。总之，所谓的 KAM 理论，不仅是 Kolmogorov 定理本身，还包括为证明该定理所发展的一系列方法，该理论诞生至今虽已近半个世纪，但仍在不断的发展和完善中。它所应用的范围也不仅限于哈密顿系统，对于可逆系统，保体积映射，以及无穷维哈密顿系统(包括一些特殊的偏微分方程)都发展出了相应的 KAM 理论。甚至可以说，凡是有小分母出现的地方，就是 KAM 大显身手之处。
特别值得一提的是，南京大学数学系动力系统方向近年来在 KAM 理论上也作出了一些重要工作，现任系主任尤建功老师在退化哈密顿系统不变环面的存在性，椭圆低维环面的保存性，无穷维近可积哈密顿系统低维环面存在性等方面作出过重要结果;前任系主任程崇庆老师在研究保体积微分同胚不变环面存在性，和共振环面破碎后低维环面的存在性问题上也作出过独到的工作。

无水1324

多年前的一个比较好的帖子，提上来好好学习一下！

hehy350901

斑竹应给予奖励