希望和大家讨论一下《非线性振动》中打靶法求周期解的问题

chunshui2003

最近在学习打靶法求解非自治系统周期解的问题，看到了西安交通大学周纪卿和朱因远在《非线性振动》中编写的相关程序，受益颇多。但同时也有几点疑惑，希望和大家讨论一下。

因为程序比较长，贴出来占地方，所以具体程序参看如下链接：http://forum.vibunion.com/forum.php?mod=viewthread&tid=106198&page=1

我把我的个人理解和疑惑说一下。

我的理解：

打靶法就是将边值问题转换为初值问题的一种算法。需要自己做的一共分为如下4步：

1 假设初值s。对于周期T已知的问题，s的数目和经过变换后的一阶微分方程组数目相同。

2 求解在假设s的初值条件下系统运动微分方程（在一个周期内），并保留变量结果，为后续的以偏微分表达式为新的变量的微分初值问题提供已知条件。

3 求解所提到的新的微分初值问题。其中偏微分表达式为变量，而方程中其他的诸如x，y等都在第2步中求得了结果，属于已知量。微分方程需要一列一列求解，初值则对应着单位矩阵的每一列的数值。

4 有了第2步和第3步的结果之后，就可以求解新的s。如果前后两次迭代的s之差满足一个事先给定的精度条件，则迭代结束，最后得到的s便是周期解。

我的疑惑：

A 对于经过偏微分后得到的新的微分初值方程，按照书上和文献的说法其初值应保持为单位矩阵不变。但程序中第三幅图片

1. 
   
2. [code]
   
3. for ii = 1:2
   
4. p(ii) = x1(ii);
   
5. w(ii) = x1(ii);
   
6. end

复制代码

[/code]

只在第一次赋予初值时保证了单位矩阵数值（见第一幅图片），其他情况下则为变量，不知是何原因。

B 第五幅图片中程序里dr应代表 “r对于s” 的偏导数 = 单位矩阵 - 第3步中所述的新的微分方程初值问题的结果。其中

1. 
   
2. [code]
   
3. dr(1,1) = 1.0 - x1(1);<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />
   
4.     dr(1,2) = x2(1);
   
5.     dr(2,1) = x1(2);
   
6. dr(2,2) = 1.0 - x2(2);

复制代码

dr(1,1)和dr(2,2)没有问题，但是dr(1,2)和dr(2,1)是不是应该加上一个负号才对。

因为这个问题涉及到许多符号表达，内容也比较多，一些问题也没有完全说清，表述可能有一些不到位，但大体的意思就是这样。请大家理解。

相关的内容我看了好几天，在没有完全弄懂程序之前还无法进行下一步的工作，而周边又没有人商量，所以希望大家能和我讨论一下，给予指点帮助。自己研究真是很痛苦的一件事。

wangu

不知道你的问题解决没有，刚好我这几天也在看这个问题。
在作者的程序中dr(1,2)=x2(1); dr(2,1)=x1(2);
对应着b=r(1).*dr(2,2)-r(2).*dr(1,2);e=r(2).*dr(1,1)-r(1).*dr(2,1);
如果加上负号那么dr(1,2)=-x2(1);dr(2,1)=-x1(2);
对应着b=-r(1).*dr(2,2)+r(2).*dr(1,2);e=-r(2).*dr(1,1)+r(1).*dr(2,1);
我想问楼主个问题，对于杜芬系统，用floquet理论判断系统周期解的稳定性时x(T)到底是怎么解出来的？

zfhnlg

楼主采用的是newton-raphson 迭代打靶法，迭代增量采用差分方法获得（雅克比矩阵，对应上述第3步）。

楼主对自治保守系统，采用上述方法获得周期解，怎么看？

zfhnlg

楼主采用的是newton-raphson 迭代打靶法，迭代增量采用差分方法获得（雅克比矩阵，对应上述第3步）。

楼主对自治保守系统，采用上述方法获得周期解，怎么看？

chunshui2003

zfhnlg 发表于 2013-6-22 22:32

                               
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楼主采用的是newton-raphson 迭代打靶法，迭代增量采用差分方法获得（雅克比矩阵，对应上述第3步）。

楼 ...

不好意思，我最近在忙着写大论文。这个环节的内容由于当时遇到一些问题而没有继续研究，现在的细节也想不出了。等我有时间后把这块好好看一下，然后再给你回复。

zfhnlg

chunshui2003 发表于 2013-6-23 09:47

                               
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不好意思，我最近在忙着写大论文。这个环节的内容由于当时遇到一些问题而没有继续研究，现在的细节也想不 ...

好的，谢谢您。

寒竹冷霜

chunshui2003 发表于 2013-6-23 09:47

                               
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不好意思，我最近在忙着写大论文。这个环节的内容由于当时遇到一些问题而没有继续研究，现在的细节也想不 ...

楼主，对于自治系统，用上述方法求解时，周期未知的情况，即自由边值问题，改如何改进此方法