含非连续分段外力的转子运动微分方程能否写出其状态方程

chunshui2003

最简单的转子系统运动微分方程为
Mx''+Cx'+Kx=f
M、C、K分别为质量、阻尼和刚度。f为外力。
通过变换，可以将上述二阶方程改为一阶形式。如u1=x'，u2=x。
则状态方程为
x''=u1'=(-C*u1-K*u2+f)/M
x'=u2'=u1
如果外力f的表达式是连续的，那么这么写没有任何问题。
但如果f属于分段形式，比如  f=a*x  （x>0），f=b*x   （x<=0），那么状态方程就不能这么写了。
写状态方程最主要的目的是为了求解Jacobian矩阵的特征值。
请大家帮助一下，像这种情况应该如何写出系统的状态方程从而能够进一步进行分析。

meiyongyuandeze

可以看下碰撞系统对这个问题的处理，自己没实际做过！

chunshui2003

回复 2 # meiyongyuandeze 的帖子

非常感谢你的回答。我做的就是碰撞系统的问题，呵呵。一旦解决了，和大家分享

yyxt007

回复 1 # chunshui2003 的帖子

状态方程好像也可以这样子写吧，在写状态方程的文件里面，把外力用分段函数来表示。

kezairenjian

微分包含。

meiyongyuandeze

回复 3 # chunshui2003 的帖子

你可以看下谢建华教授的相关研究！

chunshui2003

回复 4 # yyxt007 的帖子

我觉得状态方程的x，y等应该是确定的，分段函数加入了判断条件。那就意味着一个系统运动微分方程包含多个状态方程，感觉不太对。这也是自己的理解。
谢谢讨论！

chunshui2003

回复 5 # kezairenjian 的帖子

没太明白你的意思

chunshui2003

回复 6 # meiyongyuandeze 的帖子

谢谢你的提示，我回头找一下。现在就缺少相关文献的参考。

kezairenjian

嗯，理论上的非光滑分析，需要用到微分包含。如果仅仅求稳定性，对于分段光滑系统，可以先求出各个分界面的切换映射，再结合各个子区间的相应基本解矩阵，就可以得到全局的基本解矩阵，然后通过floquet理论对系统的稳定性和分岔进行研究。这个过程不需要求解析或者半解析解。
另外一种，就是求出各个子区间的解析解，然后用映射的方法，求得系统不动点的庞加莱映射，也可以求解分析系统的稳定性和分岔。

chunshui2003

回复 10 # kezairenjian 的帖子

感谢你的回答。之前对你提到的这些概念和理论基本上不了解。看过meiyongyuandeze给过的建议后，找了一篇谢建华老师的文章（单自由度含间隙分段线性系统周期运动的倍化分岔），在上面看到了这些内容。
我研究的是碰摩系统，其中碰摩的表达式存在判断条件（转子位移大于间隙值时才存在，否则为0）。对于这方面的稳定性分析，以全周碰摩居多（碰摩力一直存在），也就是不存在分段这个说法。
我想问一下，像碰摩这种不连续系统，是否也可以采用你所提及的方法进行稳定性分析。如果可以的话，我就把这方面内容好好学习一下。

kezairenjian

回复 11 # chunshui2003 的帖子

摩擦非线性，属于fillpov系统，建议你看看这方面的。国内的话，张思进做过碰摩转子的非光滑分析，还有一本专著。既然是分段，就一定非光滑，那么我说的那个方法应该是可以用的。

chunshui2003

回复 12 # kezairenjian 的帖子

非常感谢你的帮助。我找一下这个老师的文献看看。如果有不明白的，希望到时可以向你讨教一下。

伤痕累累

这个帖子好。碰磨，我只做过数值解，还没做到定性分析。前人栽树，后人乘凉，赞一个

寒竹冷霜

kezairenjian 发表于 2012-3-12 09:09

                               
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嗯，理论上的非光滑分析，需要用到微分包含。如果仅仅求稳定性，对于分段光滑系统，可以先求出各个分界面的 ...

在求解得到局部的基本解矩阵时，这个矩阵是和解到达切换面时间有关的，而全局的基本解矩阵是由这几个局部基本解矩阵与切换阵相乘得到，floquet 理论中floquet乘子该如何求解呢？