材料力学笔记之——压杆稳定概念、欧拉公式
压杆稳定的概念构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。稳定性是指构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力（受压直杆在压力作用下，保持原有直线平衡状态的能力）。受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯，致使结构丧失承载能力，平衡形式的突然变化称为稳定失效，简称失稳或屈曲。工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构在压力作用下，都可能发生失稳。构件的失稳往往是突然发生的，造成的事故往往是灾难性的。因构件失稳而引起的重大事故，1907年加拿大劳伦斯河上，跨长五百多米的魁北克大桥，因压杆失稳而导致整座大桥倒塌，两次事故造成88人遇难。
倒塌的魁北克大桥
魁北克大桥
稳定失稳造成的事故现在仍时有发生，2000年10月25日，南京电视台演播中心工地，在施工浇筑混凝土中，因脚手架失稳，造成演播厅屋盖模板倒塌事故，部分施工人员被压，35人被送往医院抢救和治疗，并有5人死亡。因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。
下端固定、上端自由的杆件
如上图 (a) 所示，下端固定、上端自由的杆件，受到压力F 作用。当载荷小于某一个临界力Fcr，如图 (b) 所示，杆件若受到某种微小干扰力f 作用下，使杆件发生微小弯曲变形，杆件偏离直线平衡位置，当撤除干扰力后，杆件又回到原来的直线平衡位置。当压力F 等于临界力Fcr 时，杆件可以保持原有的直线平衡状态，受到微小干扰力f 作用下，杆件发生微小弯曲变形，但是当撤除干扰力后，杆件不再回到直线平衡位置，而是保持微小弯曲变形的平衡状态，如图 (c) 所示。但当压力F 超过临界力Fcr 时，在干扰力作用下，杆件不再回到直线平衡位置，载荷稍大于临界力，就足以使杆产生很大的挠度。
当F≥Fcr 时，原有的直线平衡形式是不稳定的。使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，简称为临界力，用Fcr 表示。
为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于直线平衡形式，所用临界压力为压杆的极限承载能力，压杆稳定问题的研究主要是确定杆件的临界压力。
在理论分析中，主要讨论理想中心受压直杆的稳定问题，材料满足均匀、连续、各向同性假设，杆件为等截面直杆，压力与杆轴线重合，没有偏心。
两端铰支细长压杆的临界力两端铰支中心受压的直杆如图 (a) 所示。设压杆处于临界状态，并具有微弯的平衡形式，如图 (b) 所示，任意截面的内力如图 (c) 所示。
设杆件受到压力为临界压力，杆件处于微弯平衡状态。取压力F 的绝对值，挠度w 为正，弯矩M 为负（若挠度为负，则弯矩为正），弯矩与挠度的符号相反，截面上的轴力和弯矩
挠曲线近似微分方程为
记
则挠曲线近似微分方程
微分方程的通解为
A、B 为积分常数，代入边界条件
可解得
B=0时，挠曲线方程恒等于零，不可取，故
所以
可求得
结合
可得
使杆件保持微小弯曲变形平衡状态的最小载荷（使杆件失稳的最小载荷）称为临界力，当取n=1时，得到杆件的临界压力
此即计算两端（球）铰支压杆临界力的表达式，称为欧拉公式。可见，临界力与弯曲刚度成正比，与杆长的平方成反比。压杆的临界压力是使杆件失稳的最小载荷，杆件两端约束为球铰支，杆件可以绕任意方向转动，故公式中截面的惯性矩应取截面的最小惯性矩（形心主惯性矩的最小值）。
当挠度方向向下为正时，如图所示，弯矩与挠度符号一致，挠曲线的二阶导数与弯矩符号相反
挠曲线微分方程
所得方程与上面推导的一致。
在上面的讨论中，认为压杆轴线是理想直线，压力作用线与轴线重合，材料是均匀的。这些都是理想情况，称为理想压杆或理想柱。实际压杆难免有初弯曲、压力偏心、材料不均匀等情况。可以设想，这些缺陷相当于压力有一个偏心距e，这就使压杆很早就出现弯曲变形。所以，实验结果大致如下图曲线，折线OAB可看作极限情况。
不同杆端约束情况压杆的临界力一端固定，一端自由的细长压杆
如图所示一端固定，一端自由的细长压杆，设杆端的挠度为δ，如图坐标系中，弯矩与挠度的符号一致，挠曲线二阶导数与弯矩符号一致，x 截面的弯矩为
挠曲线微分方程为
记
则挠曲线近似微分方程
微分方程的通解为
上式求导
A、B为积分常数，代入边界条件
可解得
代入边界条件
即
则
可求得
所以可得
当取n=0时，得到杆件的临界压力
两端固定细长压杆
如图所示两端固定细长压杆，坐标系中弯矩与挠度的符号相反，挠曲线二阶导数与弯矩符号一致，x 截面的弯矩为
挠曲线微分方程为
记
则挠曲线近似微分方程
微分方程的通解为
方程求导
A、B为积分常数，代入边界条件
可得
最小非零解
可得
一端固定，一端铰支细长压杆
如图所示为一端固定，一端铰支细长压杆。坐标系中，弯矩与挠度的符号相反，挠曲线二阶导数与弯矩符号一致，x截面的弯矩为
挠曲线微分方程为
记
则挠曲线近似微分方程
微分方程的通解为
方程求导
A、B为积分常数，代入边界条件
可得
其解为
可得
不同约束杆的变形形式
从上图可以看出，压杆的临界力与其挠曲线形状是有联系的，把挠曲线形状与两端铰支压杆的挠曲线形状加以比较，用几何类比的方法，可以求出其临界力。一端固定、一端自由的压杆，与长为2l 的两端铰支压杆变形相当；两端固定压杆的挠曲线上有两个拐点，该处弯矩为零，与长为0.5l 的两端铰支压杆相当；一端固定、一端铰支的压杆，约与长为0.7l 的两端铰支压杆相当。
可以把以上不同约束情况计算临界压力的欧拉公式写成统一形式
其中，μ 称为长度因数，μl 称为相当长度（折算成两端铰支压杆的长度）。
显然，长度因数随杆端的约束增强而减小，临界压力随杆端约束增强而增大。
欧拉公式的推导中应用了线弹性小变形微分方程，因此欧拉公式只适用于弹性稳定问题。另外，上述各种长度因数都是对理想约束而言的，实际工程中的约束往往是比较复杂的，例如压杆两端若与其他构件连接在一起，则杆端的约束是弹性的，长度因数一般在0.5与1之间。
来源：材料力学之教与学微信公众号（ID：gh_5346e0e799fa），作者：关学锋。
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