力说扁担，是否真的省力？
扁担的起源 在动力机械发明之前，主要以畜力和人力搬运物体，人力虽小却颇为便利，有怀抱、肩扛、手提、头顶等多种方式。有些民族利用头顶的方式负重，如朝鲜族以及刚果的居民。借助一些简单的工具，可以更方便的利用人力。对于华夏的老百姓，日常生活和生产劳作中经常需要使用扁担来挑物、运输。扁担起源于何时、由何人来发明，都已经无法精确考证了。西方有没有扁担这种工具呢？据作者不完全的观察是没有的，影视和油画作品中可以看到西方人用肩扛、用手提和用后背来驼，却没有发现过利用扁担的画面。为什么中国扁担很普及呢？猜测是与国人良好的平衡感和设计智慧有关。作为中国自古以来的普及农具，几千年来扁担为农业生产和运输创造了无以计数的价值。岁月流逝，交通运输日益现代化，农民结束了肩挑运送的苦力活。而直至今日，现代化的生产方式逐渐替代了古老的农业生产，拖拉机、割草机已经大范围得到使用，小型农用机械也走进了千家万户，但扁担这一古老而简陋的负重工具仍然没被这个时代抛弃。在短程运输、负重攀登的过程中，扁担依然是成本最低而且最有实效的选择，由此可见，这一中华古代发明之伟大。之所以人们不淘汰这种古老农具，是因为它方便耐用，挑东西不吃力，而且行进快捷。有人说，用不用扁担，人最后的负重是相同的，因此没有“省力”。那么，扁担到底是不是真的“省力”呢？在简要回顾扁担的力学模型的基础上，让我们分别从静力学、动力学和材料力学角度分析一下扁担是不是真的“省力”。
几种负重方式静力学特点为什么有人说扁担其实不省力呢？某种角度来说，这种说法也没错。无论以何种方式负重，静止在地面的时候，测量人脚下的压力，都等于人体自重加物品重量。那么不同的负重姿势，为何有“省力”和“不省力”的差别呢？原因在于，人体感受的省力与费力，其实是身体某部分与外载荷平衡的内力。这个内力可能是受拉、受压、受弯或受剪等。为了维持平衡，人体的肌肉和骨骼需要发生相应变形，使该点的内力和外载荷的简化效果相抗衡。
外载荷如何向给定的点简化呢？由力学知识可知，如果作用在同一个质系上的两个力系可以相互交换而不改变质点系的运动状态，则称这两个力系等效。所谓力系等效，其实是对刚体的作用效果相同，即力系的主向量相同，对于任何一个简化中心，力系的主矩也相同。
由以上知识，容易得出结论：作用在刚体上的力可以沿着力的作用线在刚体上滑移，但是不能平行于作用线搬移，因为搬移的情形主矩不相等，如图1所示。
图1 刚体上作用力的简化
对图2所示的各种人体负重姿势进行静力学简化，为避免冗长，仅以简化中心为人体的腰部为例进行分析。首先，比较力系的简化效果。不同负重方式，重物产生的集中载荷，对人体腰部简化中心的等效如图2所示，其中，怀抱（图2a）和背负（图2b）两种方式的简化结果是除了主向量N=G 外，还有不为零的力矩M=G×d，这里d 是重物重力作用线与简化中心的距离。这表明，这两种负重方式下，人体腰部需要有内力矩与外载荷重物产生的弯矩M 相平衡，而通常腰部的弯曲荷载是不受欢迎的，容易导致腰部的疼痛和受伤。相比而言，其他三种负重方式手提（图2c）、头顶（图2d）和挑担（图2e），腰部则不受弯矩作用。
(a) 怀抱；(b) 背负；(c) 手提；(d) 头顶；(e) 挑担图2 各种人体负重方式示意图
然后比较一下传力的路径。上面仅分析了腰部，而除了腰部以外，还有很多部分的内力也不为零，内力不为零的部分，就在传力路径上。图2(a) 所示怀抱重物情况，重量由手臂传递到肩，再由肩胛骨传递给脊柱、脊柱传递给骨盆、骨盆再传递给下肢。在整个过程中，手臂、肩膀和脊柱、腿都有内力或者内力矩，可以说除了头部外，全身都参与受力。图2(b) 所示背负重物的情况比怀抱略好，因为手臂和肩膀起扶持作用，并非承受全部重力载荷，但脊背、骨盆、下肢受力情况与怀抱类似。图2(c) 所示手提重物的情况，若假设两侧重物对称，则腰部不受弯矩；传力路径与怀抱重物时基本相同，仍然是手臂、肩膀、脊柱、腿的全身受力。图2(d) 所示头顶重物情形，力的路线比较直接：头、脊柱、骨盆和下肢，这种情形腰部不受弯矩，手臂和肩膀也自由，但头顶重物也有明显的缺点：脊柱中比较脆弱的部分—颈椎也受压，对颈椎不好的人是个挑战；大重物举过头顶较难；重心高，不容易掌握平衡。考虑到这三个缺点，头顶重物只适合于重物比较轻的情况。
图2(e) 所示扁担挑的情形。在静力学分析过程中，忽略扁担的弹性，简化成刚体的扁担就是一个杠杆，它的各个截面主要受弯矩作用，代替了人的肩膀和手臂承受内力，使人体受力的路径更短。若扁担两侧重物不相等，肩膀受力N 和物体重量G1 和G2 之间具有如下关系：
式中，l1 和l2 分别为前后重物重力作用线到肩膀接触点的水平距离。可见，这种情况下，人肩膀处受的集中力N 可以直接传递给脊柱和下肢。脊柱的受力形式是受压，而不受弯。虽然严格的讲，脊柱不受弯而只受压的情况是不存在的，因为脊柱本身具有自然曲度。即使是作用在脊柱正上方的压力载荷，也会在脊柱弯曲处产生弯矩。
从静力学角度看，人体感觉更省力，其实是有两个原因：
· 力的传递路径更短，即更少部分受内力，而大部分骨骼和肌肉不受力；
· 必要受内力的部分，载荷更小。以人体的支柱部分—脊柱为例，不管何种负重方式，它所受的静压力都近似等于外载荷。但只有压力载荷，无弯矩载荷，显然对腰部肌肉而言更轻松。
通过比较几种负重方式可知，从内力传递路径和腰部的内力特点，挑担这种方式人体的静力学受力比较合理。
扁担的动力学模型简介扁担在行走过程中是有变形的，因此是一个弹性体。文献[1曾经将扁担简化为弹簧和阻尼系统，分析了扁担尺度对系统固有频率的影响；并指出挑夫在运动时肩膀的上下运动，对扁担和重物构成的“弹簧—黏壶—质量”系统进行激励，产生了强迫振动。通过估计动反力，文献[1指出，挑夫的步代频率是系统频率的2倍左右，挑夫可以走的又快又省力。文献[2在文献[1的分析结果基础上，进一步考虑了水平激励引起的重物的摆动，认为扁担系统是由两个振动子系统复合而成的。
以上两篇文献，是关于扁担这个变形体的受迫振动的很完善的理论分析。这里直接引用文献[2的分析结果，对扁担的动力学特性做介绍。
图3 肩部垂直激励引起的荷物的受迫振动
如图3所示，考虑对称性，扁担可以简化为端部有集中质量的悬臂梁，扁担末端中，重物偏离平衡位置的垂直位移y 满足方程：
式中，m=G/g 是重物的质量，K 是悬臂梁的刚度，yJ=h sinωt 是肩部（悬臂端）的垂直位移。因此，“扁担-载荷”系统的固有频率为ωs=√K/m。上式的受迫振动的稳态解为：
若ω≤ωs，引起的肩部附加作用力为：
由以上文献[2中的力学模型分析可知，扁担的问题是一个弹性系统的受迫振动问题。产生的载荷是典型的动载荷，与系统本身的特性密切相关 (K,m)，而且对激励频率很敏感（与ω2成正比），文献[1因此也指出，人的步行频率不能太高，否则增加动反力幅值。
作者想特别指明的是：相对于恒定不变的静载荷，人体更适应周期性变化的动载荷。常有人认为，人体中最辛苦的器官就是心脏。因为心脏的工作时间与人的寿命相同，只要人活着，心脏就不能停跳。但现代医学说明，心脏其实是周期性工作的，首先主动收缩泵出血液，然后自然舒张并回吸血液。因此，在一个心跳周期中，需要心肌用力的时间只占约1/3，其他2/3时间是在放松和休息。与此相对照，运用扁担挑重物是同样的道理，虽然动载荷的峰值是大于静载荷的，但因为载荷是周期性变化的，每个周期总有一多半的时间是在放松和休息。对于扁担问题，放松的阶段正好用于前进。这可以认为是挑担时，人感觉“省力”的重要原因。
扁担的形状与材料扁担的两头窄，中间粗。虽然很多简陋的扁担是横截面均匀的竹子或者木材制成的，好的扁担通常是变截面的，即中间宽、两头窄。这可以从材料力学角度简单分析。对于图4所示悬臂梁，在自由端受集中载荷时，容易知道外载荷产生的弯矩MF 沿着梁是线性变化的，即在加载点为零，在固定端为FL。均匀截面梁的每个横截面都有相同的截面惯性矩Iz 和抗弯极限弯矩Mp。考虑到线性分布的外载荷，弯矩最大的位置显然在固定端（对应扁担和肩膀的接触点）。只要保证此处的MF <Mp，扁担就不会断裂。那么从减轻扁担自重角度，完全可以对扁担的材料分布进行优化，最简单和直观的办法就是减少两侧的材料，因为两侧承受的弯矩很小。使用扁担的国人虽不懂得变截面梁和结构优化，他们在日常应用中已经不知不觉的对扁担进行了结构最优化设计。扁担自重轻，也可以更“省力”，虽然量级不大，但是这是对附加外载荷的减少。
图4 变截面悬臂梁的示意图
扁担的“扁”和“软”。扁担要扁，显然是要增加扁担和肩膀的接触面积，同样动载荷作用对应更小的压力分布，这样对总载荷降低没有任何帮助，但可以降低肩膀处的局部压强，让肩膀这个承载点感觉更舒适。对于肩膀这个局部而言，总载荷不变，参与受压的面积增加，从降低肌肉的内力峰值（压力）而言，是明显“省力”的，也避免了破损。而所谓扁担的软，是指弹性比较好，对应动力学分析过程中的刚度系数K 较低。由上式可知，位移确定的情况下，动反力与刚度系数成比例。此外，刚度小的扁担也容易变形，这样向下的附加动载荷作用在肩膀上时，还可以产生更大的弯曲变形，进一步增加扁担和肩部的接触面积，减小压强。
由此可以得到扁担材料的几个要素：质量轻、且有很好的弹性和韧性。弹性好才能“软”，不会伤肩膀；韧性好能在“扁”的形状下还能承受很大的弯矩而不断裂。实际生活中，普通的扁担是毛竹削成的，而据说有十年以上的树龄软性的白榆树，削皮后直径十来厘米，微带自然的弯曲并且在河沟里浸泡过两三年的，做成的扁担是最好的，大约是挑夫根据经验，对扁担的材质做出的优化选择。
总结本文围绕着扁担是否“省力”的问题进行了讨论。
首先，从静力学受力的角度，说明对人体而言什么是“省力”。人体感觉省力，是力的传递路径更短，参与受力的骨骼和肌肉更少，或者主要受力结构的载荷更小，扁担在这两个方面都能达到“省力”的效果。它不仅改变了传力路径，使人体主要受力结构的只是脊柱和腿，其他部分均处于较放松的状态；而且改善了腰部的受力状态，载荷的对称性使腰部基本不受弯矩，更符合人体工程学原理。现在生活中更常用的双肩背包，其静力学特性、传力路径其实和扁担很相似，只是没有动载荷效应，有兴趣的读者可以自行分析。
其次，利用现有关于扁担的弹簧—质量系统受迫振动的力学模型，说明人体在挑担过程中受的是周期性的动载荷。人体本身的结构特点更适合动载荷，因此从主观上会明显感觉“省力”。
最后，扁担的材料和尺寸优化，可以降低肩膀的局部应力。变截面梁可以实现扁担的减重；而软和扁的形状，可以降低肩膀压力峰值，这也是“省力”的原因之一。
随着科技的进步，这一代人已经很少会用扁担了，但是扁担“省力”的相关原理却可以用在很多地方。“省力”本身是一个非常主观的感受，但这种感受其实是可以量化和解释的。
以上我们从静力学、动力学、结构和材料的优化不同角度，分析得到了扁担省力的多种原因。在与人体相关的医学器件和各种操纵设备的设计中，如果能考虑传力路径的长短、局部内力的载荷性质及大小、周期性动载荷的特点，将使人感觉更舒适。在符合环保和轻量化设计要求的基础上，做出更符合人体工程学的优秀设计。
参考文献：
张以同，张岚。关于扁担的力学，力学与实践，2002,24(5), 76-78
尤明庆。关于扁担挑运力学原理的注记，力学与实践，2011, 24(4), 87-88
李俊峰，张雄。理论力学（第2版）。北京：清华大学出版社，2010
（原文注：本文刊载于《力学与实践》2018年第1期，略有改动）
来源：力学科普微信公众号（ID：lxkp_cstam），作者：邱信明。原题《扁担是否真的省力》
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