科学贵族的游戏：最速降线（下）
约翰·伯努利提出最速降线时，正是微积分在欧洲的兴起之时。为争夺微积分的优先权，牛顿和莱布尼兹形成了两大阵营。约翰·伯努利作为莱布尼兹的学生和支持者，他们也希望借此来检验牛顿对微积分的掌握程度，为此，他们故意引诱牛顿来参与解答，约翰·伯努利在征集解答时特意说道：...可能会解决我们出色问题的人很少，是的，即使是那些自夸借助新黄金定理（暗示流数术）并拓展了它们的应用范围，但是事实上早就被其他人出版了。
为了确保牛顿知晓这一挑战，约翰·伯努利给牛顿写信邀请他参与解答。1697年1月29日牛顿收到了邮件并接受了挑战，当时牛顿已经是伦敦皇家铸币厂的监管，牛顿收到信件后说道：
我最讨厌的有两件事，一是被人催款，二是被外国人在有关数学的问题上取笑…
当天下午4点牛顿下班后回到家开始解决这一问题，到次日凌晨4点就解决了这一挑战，并将他的解决方案送给了当时的皇家学会主席蒙塔古 (Montague)，在提交的简介中，牛顿简短的写道：
问题：找出一条曲线ADB，在这条曲线中，一个重物在其重力的作用下，从给定的a 点迅速下降到给定的B点。
解答：从给定的点A，画出一条无限延伸的水平直线APCZ，并在其上可做出任意摆线AQP与直线AB相交于Q点，进一步再画第二个摆线ADC，其基数和高度将会成为前者的基础，正如AB到AQ。最后的摆线将通过B点，它将成为那条曲线，即沿该曲线重物在仅受重力作用下可以最快的从点A下降到点B。
图7 牛顿最速降线方案（来源：网络）
后来，牛顿的解决方案被匿名发表在Philosophical Transactions上，这是世界上研究自然科学的第一本期刊，被译为《哲学汇刊》，1665年创刊（起初为私人期刊），1752年成为皇家学会的官方刊物，《哲学汇刊》至今仍在出版发行。约翰·伯努利 (Bernoulli) 看到牛顿的文章后，在1697年3月写给亨利·巴斯纳格 (Henri Basnage) 的信中评论牛顿的方案时说：尽管作者“过分谦虚”并没有透露姓名，但即使从最少的细节也可以认定这是牛顿的作品，我从他留下的脚印知道这是一只狮子 (we know the lion by his claw)。
在牛顿解决方案中，似乎直接认定最速降线是摆线。他先给定一条摆线，然后在摆线附近选择一条不同的路径，求出任意点走不同路径比走摆线路径上的多耗（或者少耗）的时间为常数，然后说明满足这样条件的曲线必然是摆线。不过牛顿的推导不是很好理解，不只是我们不好理解，当时的大数学家理解起来也比较困难。
当时已经80岁高龄的英国著名数学家约翰·沃利斯 (John Wallis, 1616-1703, 微积分的奠基人之一，发明了无穷符号) 从约翰（老三）的四弟Hieronymus Bernoulli (1669–1760) 那里知道最速降线挑战后，他用了三个月尝试去解答该问题，最终一无所获。当时另一位数学家——苏格兰戴维·格雷戈里 (David Gregory, 1659-1708) 也在尝试解答该问题，也没有成功。牛顿公布解答后，他们都对牛顿的解答进行过研究，格雷戈里还写信向牛顿请教了一些细节。可能是牛顿方案太过于简单，格雷戈里并没有完全理解牛顿的方案，但是他借助自己的理解对牛顿方案进行了标注，这为我们理解牛顿的方案起到了基础作用。
图8 牛顿方案的证明（来源：网络）
格雷戈里先给出一条摆线ZVA，它是由圆CHV产生的，有一个小球从Z释放，沿摆线在只受重力作用下运动到A点。现在来观察ZVA上任意微段eE，E点与H、B点同高。若小球走了不同的路径，如沿着eL达到L点，这里L点与E点同高，且eL不是摆线上e点的切线。
定义o为EL的长。注意，当L在DE中间时，认为o<0。连接CH和VH，过E点作En平行于CH，交eL于n。根据摆线的性质（这条很重要），E点的切线平行于VH，则En垂直于E点的切线。当EL趋近于0，有en=eE，∠EnL近似为90°，此时eL近似平行于VH，因此△EnL相似于△CHV，有
nL为沿eL比沿eE多走的路程，由于E和L同高，在微量下，认为小球沿eE和eL的速度为匀速运动，且速度与E点的速度相同，正比于√CB，由△CBH相似于△CHV，则√CH=√CB·CV。假设t 是沿eL和沿eE运动时多耗的时间，则
由于CV表示圆的直径，为常数，因此，上式可以得出一个有趣的结果，在最速降线上任意找一点，设在该点有微小改变的路径，其多耗的时间与该点的位置无关，仅与o的长度有关（上式中只有o为变量）。按照牛顿的观点，这是小球沿最速降线滚动的条件，就证明了最速降线的路径为摆线。
在牛顿的原证明中，如图2(b)，考虑摆线上的微段eEFf，假设小球有不同的路径eLMf，这里LM//EF，且En//jM//VH。当ef趋近于0时，认为△EnL~△eDE，设沿eE和eL的速度为小球下落到B点的速度，正比于√CB，则小球沿eL滚动比沿eE滚动多耗时间为
此外，设沿Mf和Ff的速度为小球下落到I 点的速度，正比于√CI，由于△FGf~△FjM，小球沿Ff和沿Mf滚动的时间差为
然后牛顿说，欲证eEFf表示的最速降线为摆线，只需要证明
由于摆线上课满足
也就满足
成立，因此问题得证。但是牛顿没有说明为什么该比值为常数时，最速降线为摆线，这给人们理解牛顿的方案造成了困难，正如格雷戈里。
不光是牛顿的解答难以理解，大数学家莱布尼兹的解答也有点让人摸不着头脑（主要是我读不懂），他也是直接断定最速降线是一条摆线，他说这很容易说明，但似乎他的解答也不太容易理解。
图9 莱布尼兹解决方案
如图9所示，莱布尼兹先声明曲线ABK是由圆弧画出来的摆线，它的最低点K，最高点G与A位于同一条水平线，垂直于AC作一条水平线，在最速降线上交于M，在圆上交于L，于竖直的直径GK交于O，它的坐标CM正比于圆弧段（应该是说弧长GL），并且圆半径和CM组成的矩形等于弧GL与弦GL（应该是面积相等），然后AB之间的曲线就是物体从A到B的最快路径。
但是，牛顿和莱布尼兹都得出了正确的结论，最速降线是一条摆线，更正了伽利略有关最速降线是圆弧的一部分的错误结论。而对最速降线问题的研究，直接导致了一门新学科——变分法的诞生。
1720年，13岁的欧拉 (Leonhard Euler, 1707–1783) 到巴塞尔大学就读，约翰·伯努利成为他的数学老师，不久约翰就发现了欧拉的数学天赋，安排欧拉研究获得曲面上两点之间距离最短的曲线，这很像最速降线，后来这类问题被称为“在一定的约束下，求解一个函数使得某个量取得最大或最小值。”欧拉不负众望，在1744年发表了《求某种具有极大或极小性质的曲线或解最广义的等周问题的技巧》，这是有关变分法的第一本专著。不过，欧拉保留了约翰·伯努利的几何证明，这种几何与分析相结合的方法使得推导过程非常繁琐。
1755年8月，年仅19岁的拉格朗日 (Joseph Louis Lagrange, 1736-1813) 又在欧拉的基础上给出了一种新的分析方法，该方法彻底放弃了约翰·伯努利的几何证明，完全采用分析的方法，并引入了δ 语言，使得整个演算过程简洁、优美。当拉格朗日写信给欧拉时，欧拉立刻意识到拉格朗日算法的价值，果断地放弃了自己原来的方法，并在1764年的两篇文章中正式将拉格朗日的算法正式命名为变分法 (Calculus of variations)。
据说，约翰·伯努利之所以提出最速降线的挑战，是为了证明自己比哥哥雅各布·伯努利聪明；而牛顿之所以参与进来，是因为莱布尼兹要在微积分上与牛顿一决高下。此外，完成挑战的还有洛必达和契恩豪斯。这样，伯努利兄弟两人、莱布尼兹、牛顿、洛必达和契恩豪斯等六人，成功解决了最速降线问题。初读这段故事时，我感觉数学江湖风起云涌、刀光剑影，先有华山论剑，后有紫禁决战。不过，这些数学大师之间的关系引起了我的关注，以约翰·伯努利为中心，莱布尼兹是他的老师，契恩豪斯是莱布尼兹的学生兼朋友（与约翰算是同门），雅各布是他的哥哥，洛必达是他的学生，原来他们都同属于一个“课题组”。
图10 最速降线挑战者之间的关系
我常常在想，一个学术团队，是像他们这样具有师承关系更容易创造出原创性成果，还是要讲究“杂交优势”，以不同出身、不同背景的人组成团队更容易出原创性成果？从变分法的故事似乎可以感受到，一致的师承关系有利于形成稳定的研究方向，从而在认识世界、认识自然上形成合力。所谓水滴石穿、绳锯木断，只要在一个地方十年如一日的专研，总会有拨云见日、春暖花开的一天。
前提是课题组目标要与科学发展目标相一致！
参考文献：
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Brachistochrone/
https://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve#Jakob_Bernoulli's_solution
Babb, Jeff and Currie, James (2008) "The Brachistochrone Problem: Mathematics for a Broad Audience via a Large Context Problem," The Mathematics Enthusiast: Vol. 5 : No. 2 , Article 2.
Herrera M D I . Galileo, Bernoulli, Leibniz and Newton around the brachistochrone problem. Revista Mexicana de Fisica, 1994, 40(3).
贾小勇, 李跃武. 变分法的一次变革:从欧拉到拉格朗日的形式化改造. 自然科学史研究, 2009, 028(003):312-325.
来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟 太原科技大学。
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