武际可教授漫话周期运动
原题：漫话周期运动——天体的运行和乐器的发声我们周围周期变化的事物，从远古起就引起人们的兴趣，吸引人们去观察、探索、研究。早在二千多年以前，我国战国时期的思想家管仲在《管子》一书中就曾有“天覆万物，制寒暑、行日月、次星辰，天之常 也。治之以理，终而复始”的论述。
西方哲学家亚里斯多德在他的名著《物理学》中给出了圆周运动的精确定义，并且说：“圆运动先于直线运动，因为它比较单一、完全”，“循环运动是一切运动的尺度”。
民间谚语“三十年河东，三十年河西”概略描述了河床周期性变化的规律。《三国演义》的第一句话“话说天下大势，分久必合，合久必分”，描述了社会现象的周期变化。《汉书·礼乐志》中有一句话：“阴阳五行，周而复始。”则将周期变化总结为一般的规律。
阴阳五行 在众多周期变化的事物中，有两类特别引起人们的兴趣，一类是日月星辰即天体的周期变化，另一类是乐器的发声。
乍看起来，这两类事物是如此的不同。前一类是自然的，而后一类则是人造的;然而，它们都是周期运动，而且在今天看来都是最易于观察到的周期运动。它们都是同人类生活息息相关的。
中国历代统治者视科学技术为“奇技淫巧”，却对这两类现象的研究表现出特有的偏爱。在官修的甘五史之中，总是以显著的篇幅描述天体运行的历与乐器发声的律，合称律历志。这种偏爱从基于对这两个领域重要性的认识。
天体运行不仅关系草木荣枯的周期变化，关系人类作息，农事周期，而且在他们看来，“凡帝王之将兴也，天必见祥于下民”(吕不韦语)，“治道失于下，则天文见于上”(陆贾语)，即人世的治乱都可以从天体运行上看出来。对于乐则认为“乐也者，天地之和也”，“可以善民心”，“审声以知音，审音直以知乐，审乐以知政，而治道备矣”(《礼记》)。
地球公转与四季的形成 天象和音乐有这么大的作用，难怪历朝历代都设有管天的钦天监、管乐的乐府、教坊等专门机构，组织专门的研究队伍，委派专门的官吏掌管。不少封建统治者本身就是这方面的专家;唐明皇和三国时代的周瑜是音乐家，明代皇太子朱载堉是律学家，清朝皇帝康熙是通晓天文和乐律的专家。
日月星辰，在 1957年人类首次发射人造天体之前，本身变化不大。描述它的观察资料日益丰富，描述它运行的理论、学说不断发展。至于乐器，从史前到现在，种类日益繁多、功能日臻完善、内容也不断丰富。
考古发掘证实，我国约八千年前就已有笛，而七千年前就已有埙这种古老的吹奏乐器，之后有钟、磐、鼓、琴、萧等。到了周朝例，见于记载的乐器即有70多种，仅《诗经》中提到的乐器就有29种之多。《周礼》将它们大致分为8类，即匏(笙类)。土(埙或缶等)、革(鼓类)、木(板类)、石(磬类)、金(钟类)、丝(琴类)、竹(管类)。
古代各种乐器 唐代乐器空前发达，加上从外域传来的，据记载有300种以上。胡琴的出现是乐器史上的大事，它是弓弦乐器的始祖。北宋的大学问家沈括 (1031-1095)在《梦溪笔谈》中有“马尾胡琴随汉车”的名句，表明宋代已有了胡琴。《元史 礼乐志》中有正式的胡琴记载，说：“胡琴，制如火不思，卷颈、龙首，二弦用弓捩之，弓之弦以马尾。”西方的小提琴等弓弦乐器是从东方传去、历经改进到15-16世纪才定型为现代的式样。
电子琴是20世纪才出现的，它是把近代非线性电子管振荡器用于乐器制造的产物。1920年，一位苏联学者发明了差频式电子琴。由于那时电子管体积大，性能也不理想，虽几经改进，在60年代之前大多没有实用价值。六七十年代之后，由于三极管、集成电路的出现和振荡器性能的改进，新的电子琴可以模仿任何乐器的音色。一架电子琴在手，演奏起来可以达到一个乐队的效果。电子琴目前仍方兴未艾，它的前程无量。
天体运行和乐器振动的各种理论发展，其内容之丰富、道路之曲折，绝不是在一篇短文中所能详尽的。这里，我们仅将它作一简要的回顾。大致是：天体运动精确化描述，乐器的线性振动理论;天体动力学模型及乐器非线性振动几个重要阶段。
早期，无论东方还是西方，自然科学都是从观察天体运行迈出第一步。尽管天体运行相对简单，但还是经历了漫长的岁月。从对日月星辰运动的观察，不断积累资料完善理论模型，从地心说到日心说，在西方经过从托勒密、哥白尼、第谷、开普勒、伽利略，经过了剑与火的斗争，才迎来了17世纪牛顿力学的诞生。
地心说 牛顿力学的第一个胜利便是成功地精确地解释了行星运行的轨迹。关于天体运行的争论至此似乎画上了一个句号。牛顿力学也是近代精密科学的开始。它使人类形成了绝对时间、空间，运动的速度、加速度、质量以及力的概念，并能用这些概念及运动定律列出描述物体运动的运动方程。这些都为乐器发声理论的研究奠定了基础。
乐器的发声来自振动。振动也是一种周期运动，不同的是它的周期很短。天体运行的周期是以年为单位的。而乐器振动周期只有百分之一秒左右，以C调的la为例，它是每秒440赫兹，比天体运行周期快了约 倍，所以比起天体的周期运动来说更难于观测。
事情还得从意大利科学家伽利略(1564-1642)谈起。传说他小时候在教堂随大人作弥撒，对于圣经毫无兴趣，却不时去观察教堂大吊灯的摆动，从而吸引他后来对单摆进行实验，得到了单摆周期等时性的结论，并且得到了周期同摆长关系的物理定律。基于摆的等时性，才产生了近代意义下的计时装置——摆钟。用它度量其他运动，这在技术上实现了亚里斯多德的“循环运动是一切运动的尺度”。有了这个尺度，人们可以进而观察像乐器振动这样较快的运动了。
单摆 在众多的乐器中，弦乐器最易于研究。法国僧人马森(M.Mersenne，1588-164 8)进行了弦振动的实验，得到了弦长与振动频率的关系。之后有拉格朗日、达朗贝尔、亥姆霍兹等对弦板和其他各种乐器进行了大量实验与理论研究。1877年英国人瑞利的《声学理论》的巨著集前人研究之大成，它概括总结了弦、板、管等的振动与发声，这就是现今关于线性振动理论的主要内容。
在我国历史上，这类问题提出得还要早。例如在《周易》中有“同声相应，同气相求”的记载，可谓共振原理的萌芽。在《汉书》等中有弦乐器音阶的“三分损益”的记载，它简单说明了音阶同弦长的关系。北宋沈括在《梦溪笔谈》中记载了琴瑟上调弦时的共振实验，他说：“欲知其应者，先调诸弦令和，乃剪纸人加弦上，鼓其应弦则纸人跃，他弦不动。”明朝皇太子朱载堵在世界上首先提出了十二平均律。这些贡献无疑都是了不起的。但由于量的精确化不够，没有形成精确的表述方式，所以甚至连振动的周期、频率、音速等基本概念也不是首先在中国准确形成的。
朱载堉十二平均律的记载 20世纪以前的研究结果应当说是相当丰硕的了，然而所有这些研究中，还没有涉及一个乐器发声的根本哲理性的问题。声由物体振动产生，而一般振动，如击鼓所形成的振动，总会由于材料的内耗和介质的阻尼衰减而最终停止。那么一个持续的声音或振动将是怎样产生的呢?
例如坝、笛、笙，只要对吹口连续吹气，且气足够长，声音即可延续足够长;弓弦乐器只要弓足够长，持续拉动，弦即不断振动。即是说，单调的口风和弓子的平动怎能产生周期运动呢?直到19世纪末，人类还没法回答这一问题。
要回答这个问题，还得回到天体力学上，得从法国的数学家劝学家和哲学家庞加莱(1854-1912)开始。他在深入研究了大体力学后，将天体的运行归结为一组常微分方程，称之为动力系统。由于求解困难，他不得不转而开创了一个新的方向，这就是微分方程的定性理论。对于天体问题，特别是二体问题，他论证在一定条件下存在周期解即极限环，并设法去寻求它。
1927年，苏联学者安德罗诺夫(Андронов Александр Александрович，1901-1952)指出，在无线电的振荡器中的自激振动可以用庞加莱的极限环来进行数学分析，并在此基础上提出“自振”这一名词。他说：“尽管这样的系统中有摩擦，却都存在不依于初条件的振动，这样的振动称为自振。”自振只有在非线性系统下才会出现。弓弦乐器、管乐器。簧乐器的发声无不是自振。
安德罗诺夫像 1940年， E.霍普夫( Hopf)将安德罗诺夫的自振概念进行了数学上的概括，这就是现今所说的安德罗诺夫一霍普夫分岔。这个概括可以简要总结如下：
考虑一个动力系统
这里x和f都是n维向量，λ是一个参数。它有平衡解x0=x(λ)，对给定的λ是常向量，即满足f(x0,λ)=0。为了在平衡解邻近讨论系统的行为，不妨将右端取主要项，即
或令：
则有：
这里Dψ/Dy是ψ(y,λ)对y，在y=0处的雅可比矩阵。它是依赖于的λ。当λ值使Dψ/Dy的特征值全部具有负实部时，任何在y=0邻近的解y(t)，亦称扰动解都趋向于零。即任何扰动都趋向平衡解。这时称平衡解是稳定的。对于某个特定的λ0，Dψ/Dy的特征值出现一对不为零的共轭虚根时，这时扰动解y(t)表现为周期运动，原系统会出现极限环。即系统出现自振，这就是分岔。
安德罗诺夫一霍普夫分岔揭示了动力系统的平衡解和周期解相互转化的内在规律。
霍普夫像 我们周围的事物总是可以用动力系统来近似描述的，因而平衡解同周期解的相互转化也是普遍的。乐器的发声，生态中种群的此起彼伏，化学中的反应波，电磁振荡，股票市场的涨落，心脏的跳动，飞机和结构在风作用下的颤振，摩擦和流动产生的噪声，地貌与河床的变迁等等，无不可以用这一理论加以解释。
天体力学和振动理论这些成果又会反过来把人类观测天体以及制造乐器的实践推向更高的水平。1846年海王星的发现、1930年冥王星的发现，以及 1957年以后数以千计的人造天体的发射和技术应用无不凝结了天体力学的研究成果。
在非线性振动理论指导下，更精美的振荡器设计了出来，更精密的电子计时器诞生了，粒子加速装置、各种风动工具、机械都可以找到它的应用。而作为新一代的乐器——电子乐器正是各种复杂振荡器的综合，只要按下琴键，振荡器通过场声器即可发出美妙的乐音，需要的话可以任意延长，没有气短弓尽之憾。
电子琴 回顾这段历史，不免使我们中国人为之心酸。我们有五千年文明，我们也较早地提出了这类问题，而且历代对这些问题也不可谓不重视，确曾花了大力气去探索，但划时代的成果却总是出在西方。这种状况恐怕有两方面的原因。
第一，在研究学问上急功近利的哲学思想的长久统治。科学和技术不同，它是非赢利的事业。牛顿力学、庞加莱极限环。安德罗诺夫一霍普夫分岔都不能卖钱，都不可能成为商品，甚至从急功近利的眼光看，它们都没有“用”，然而它们都是人类文明的无价之宝。
我国在历和律的研究上虽然名家代有辈出，著作汗牛充栋，但考其内容无非是为了应用。在历上，主要为了发布准确的皇历和观察天象的祥瑞与凶兆。历史上，我国曾出现过90多种不同的历法，古书记载的天象也总是和世事的吉凶联系在一起阐明的，因而没有也不可能有更高层次的力学和天体力学产生。在律上，主要是应定调、定音、和弦之需，为制造乐器和为乐曲定调服务，没有也不可能产生一般的振动学和声学理论。
古代二十八宿与北斗历法 总之都没有对客观规律超过应用的升华。“致用”的原则束缚了科学发展，“致用”只会产生技术却产生不了科学，也就谈不上在科学指导下的现代技术。何况这“用”往往被理解为爵位的晋升、俸禄的增加和更为功利主义的效用和效益。
其实，如果纯粹从应用的角度来看问题，地心说和中国古代的历法也便够了。按它制订的历法也不会延误农时，有点小的误差隔几年修订一次也没有什么麻烦。在律上，有中国明朝朱载堉的巨著《乐律大全》便够用了。他不仅提出了十二平均律而且计算精确到20多位有效数字。按照它，在乐队中绝不会有定不准调子的困惑。
中华民族是很擅长于发明的民族。据有的外国学者考证，世界上半数以上的发明起源于中国。四大发明之外，诸如耕作技术、蚕桑。纺织。瓷器。火炮、众多的乐器、火柴、牙刷等等可以举出成千上万。
四大发明 然而由于没有近代科学，当我们的发明还在不断改进连湾、红缨枪、水车、虹吸、沙漏、独轮车、烽火台、花炮、驿站、皮影戏等等的时候，西方基于近代科学的洋枪、洋炮。飞机。原子弹、无线电、计算机、原子钟、彩色电视等的发明大批涌现，中国人只能长时期望洋兴叹。近代史告诉我们：科学的落后，会导致技术乃至经济的衰落。
在中国古代，不受急功近利观点影响的学者，也还是不乏其人的。屈原就是一位。在他的《天问》中，我们一点也看不出急功近利的影子。但唯其如此，它在三千年的历史中和者寥寥，只有唐朝的柳宗元和明朝的王廷相分别以《天对》和长答》遥相唱和，而屈原自己却由于政治上的其他原因投江而死。
屈原 第二，长期封建的皇权统治，扼杀了人民的创造力。科学的发展，是需要有民主的环境的。律和历，在中国古代受到重视，毋宁说受到封建帝王的重视。
在天体力学上有一件事也值得一说，这就是西方日耳曼学者汤若望(1591-1666)的遭遇。汤氏最初在中国传教，由于他熟悉西方当时的天文知识，明末被徐光启举荐参与历法制定。清初他曾任钦天监，受守旧派诬陷和反对，以他对荣亲王下葬的时日选得不好等罪名，再加上扬光先罗织罪名指斥新法十谬，被判极刑，他手下许多官员则罢官的罢官坐牢的坐牢，后来因为别人上书替他讲情方免死罪而蹲进牢房。这一事件致使西洋历法理论在中国的实行推迟了若干年。
汤若望 随着西学东渐和封建王朝的腐败与崩溃，人民群众已不再能忍受愚昧与专制的枷锁。民国以后，近代有识之士提出科学和民主的口号。这无疑是一种历史的进步，从而也为迎接近代科学在中国的繁荣作出了贡献。
最后，我们再回到天体运行上来。经过若干世纪天体力学、动力系统的研究，似乎没有什么新问题要研究了。从20世纪初至前些年，在中外科学界里流行着一种颇为时兴的说法：科学的前沿在物理，物理的前沿在基本粒子。这种看法也有一定道理，在它指引下，许多大型加速器建立了起来，迎来了不少新粒子的发现，迎来了核工程的诞生，这无疑是一段辉煌的历史。
欧洲大型强子对撞机 然而，事物似乎又来了一个周期，正应了民谚说的：“三十年河东，三十年河西。”近年来动力系统中的新的成果不断出现，奇怪吸引子、混沌概念的产生，计算力学、计算物理的兴起，吸引了众多学者投入;与此相比，许多大型加速器关闭;美国又中断了正在建造的大型加速器的拨款。这说明宏观动力系统的研究又热火起来了，而微观世界的研究开始转冷。
事实上，天体运行奥秘的探讨还远远没有完结。人类观察天体愈仔细，许多现象愈难以解释。随着望远镜的出现，人们就曾注意到木星上有一块斑点;望远镜愈改进，观察得愈精细就愈不可思议。几百年来，对这块斑点出现过多种解释，诸如岩浆说、气柱说不一而足。直到1978年，由人造天体旅行者2号发回的图片，方认清了那是一团大尺度的大气湍流。而湍流，即流体的紊乱流动，它的规律至今仍是不清楚的。
旅行者2号 至于天体的运行，自古以来一直就有人在问：天体的周期运动是怎样产生的呢?屈原在《天问》中问道：“遂古之初，谁传道之?上下未形，何由考之?”一千年之后，柳宗元在长对》中是这样回答的：“本始之茫，诞者传焉。魂灵纷兮，最可言焉。”意思是说：“原始渺茫的情形，都是荒诞者传下来的。巨神之类的传说，纯属无稽之谈。”
牛顿虽然对天体的研究比柳宗元高明得多，可是他的回答却是：太阳系的周期运动是因为上帝给了它最初的一棍子。这个解释非但不能使人有“天降牛顿，万物生明”(波普，A. Pope，1688-1744)的感觉，而“最初的一棍子”不免使人更为糊涂和困惑。倒是柳宗元后半句不信上帝的话比牛顿还稍微高明一点。正由于解答得不能令人满意，中外学者在这个领域中仍旧继续探求。关于天体和宇宙起源的学说不断出现，康德和拉普拉斯都曾有过优秀的假说，不过，迄今还没有一种令人信服的说法。
如果亘古遂初宇宙是处于天地未分购混沌状态，用时下的话说，可以看做连续介质的动力系统，亦即无限自由度的动力系统，那么在微团之间万有引力作用下，系统内部还存在耗散。这样的大系统将怎样演化为现今的模样呢?
我们已有的理论是对于有限自由度动力系统的。即使对有限自由度动力系统，我们也还有许许多多问题没有研究清楚。而无限自由度的行为则提出更多的理论问题需要我们去解决，它需要发展新的工具，需要力学、物理、数学多学科合作。它的重要进展，想必对天体演化。宇宙起源、湍流机理会有进一步的揭示。到那时，我们对周期运动和动力系统的认识也就会更上一层楼了。
参考文献
1.安德罗诺夫等著.《振动理论》翻译组译，振动理论，北京：科学出版社，1973
2.戴念祖，朱载堉——明代的科学和艺术巨星.北京：人民出版社， 1986
3.尤·阿·里亚波夫著，李进等泽，天体力学浅谈，北京：科学普及出版社， 1984
4.周桂钿.天地奥秘的探索历程，北京：中国社会科学出版社，1988
本文收在文集《力学诗趣》中，南开大学出版社出版，1998年10月，此文集与王振东合著。
来自：科学网武际可博客
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