谈弹塑性力学的物性方程：理论与实验终于协调了
弹性力学最初的应力-应变关系方程就是胡克定律。但是，塑性力学的物性方程则非为两部分：一是卸载(和再加载)曲线上的线性弹性;二是初次加载曲线上的非线性弹性(增量弹性，全局非线性)。在大学学弹性理论的时候，问得多了，老师对这个关系式的回答是：实验发现，基本定理。等到了参加工作后，整天就是研究介质的物性方程，此时才发现，系统性的论述物性方程随变形(或外力)而演化的理论著作奇缺。
无论是格林的书，还是Truesdell 等的理论，都是引入一般意义上的变形能函数，从而对应变求偏导数而得到物性参数。理论上很严格。但是，在实际工程上不好用，因为我们对变形能函数的具体形式一无所知。从而，只能停留在实验定义上。
在1960S，Bernstein、Biot等学者指出，就物性方程而言，流体的物质概念、固体的物质概念，增量变形的物质概念、全量变形的物质概念存在不协调性。从而，本应是在物质意义上具有客观统一性的物性方程(指抽象方程)，在连续介质力学框架内实际上是分立的。
理论学家认为这是一个重大的理论问题，而工程力学家则认为这根本就不是问题，固体和液体的物性方程就应该是不一样的，理论学家属于没事找事。
但是，1960S以后的力学进程证明，物性方程的确是连续介质力学理论的薄弱环节。20世纪后期的研究基本上揭示出，应力的变化(或是等价的应变的变化)导致弹性参数的显著变化，从而开劈了非线性弹塑性力学。
争论也随之而来，这种变化是几何效应?还是真实的物性变化?这样，就出现了几条路线：
1、这是几何效应，是应变的定义引起的，从而引入非线性应变(位移场偏导数的积)项。不过，虽然理论形式上严密，但所得到的运动方程几乎无法给出线性解，而是给出大量的失稳解(如混沌解)，实验上这类非线性是确定性的。从而，这条路线在持续30年后进入尾声。这是失败的路线。
2、是真实的物性变化。这个概念在实验意义和工程意义上好接受，但是，我们不知道引起物性变化的自变量，从实验事实上我们知道这个自变量与应变(应力)有关，但没有理论上的确切定义，从而是一个“待定的隐变量”。这条路线也走向了失败。
3、最后，从工程上来讲，就剩下一条路了：实验测定，建立经验关系。这下就热闹了，各式各样的经验关系被发掘出来，各式各样的数理统计结果(基于统计物理学的办法)被建立起来，随后，相应的各类运动方程的数值求解(基于不同的物性方程)结果多得不得了。形势一片大好，不是小好，而是大好。
在这个背景下，基于不同的物性方程体系的力学理论和物性方程理论本身一起，导致了大量力学理论的建立。
理论上的多解性(多个不同的理论给出多个不同的解)与实际工程问题的唯一性间出现了巨大的深沟。数学力学家毫不客气的指出，由于非线性问题的多解性是客观的，实验的结果也一定会出现多值性(分叉)。从而，大批的研究人员开始在实验上寻求多值性。试图用实验来证明理论。
工程上的确定性，即便是在物性参数随应力或应变显著变化的情况下，变形历程依旧是具有唯一性。多值性的确存在，但是这个分叉依旧是确定性的。工程上需要的是，物性参数为非线性的，但是运动方程的解是唯一的。
数学家说，这是绝对不可能的!当著名地球物理学家Ricker 给出4阶偏微分波动方程的解析解，并称实验证明这个解对于初始条件的依赖性只表现为两个常数时，数学家和力学家给出的回答是：这是胡扯!然而，不管数学家力学家如何批这样的理论，这个理论经受了半个多世纪实践的检验，成为核心技术的理论基础。但是，对于工程界而言，对这个理论给出严格的理论证明是无能为力的。
同样的，在1980S，全球著名地震学家Crampin 发表地震波的各向异性理论及波场偏振分裂的一般理论后，随后的学术争议持续至今。争论的焦点扩充到了应变、应力的基本定义问题，而不再限于物性方程。
一旦是处理波动问题，数学家就弱脾气了，由于波动问题的边界条件是“运动的”，数学上还没有建立一套这样的严格求解理论。现有的波动方程及求解方法(指经典的散度和旋度波动方程)得到的解与实验不符。这样，问题又传递到波动方程上了。由于应变并不是散度(散度只是应变张量的迹)，而要定义波动的应变有3个不变量，因此，理论上应该是这3个不变量都进入波动方程。
不同的说法是，这样的波动方程在根本上就是高度非线性的，没法求解。Truesdell 等寻求的路线是引入初始应力，从而波动方程含有初始应力的平衡方程。在概念上绝对正确：初始应力的平衡和波动应力的平衡是不可分的。但是，在工程上就没价值了，如果用这个方程，需要引入初始应力和波动应力间的耦合系数，而对于这个系数我们一无所知。
对于石油工程具有巨大价值的介质是固、液、气并存的混合介质，也就是Biot 所研究的增量变形介质。知道这类介质有未知的初始变形。在实验上也知道非线性的起因就是这类可以等效为液体、固体的夹杂物在起作用。这样，在绕了一个大圈后，就形成了新的理论路线：
· 以任意位形为参考，建立相对于任意位形的增量变形理论(Biot 的矩阵理论;陈至达的基矢变形理论)，在应变上想办法，把与弹性波动(增量变形)无关的量撇去，从而得到形式上的线性理论(本质上的非线性理论)。
· 引入各向异性弹性参数(Crampin用弹性参数吸收微观变形量(初始应力)，从而得到线性波动方程(但是方程项数大增))。数学上，等价于用线性方程组来代替高阶的非线性方程(拟线性化)。
这两条新的路线都给出了确定性的解，而所反映的现象在经典意义上就是非线性力学。理论与实验终于再次协调了。
就物性方程而言，我把这个历史时期形成的理论结果，用陈至达的理性力学体系进行了系统性的总结性论述(肖建华，应力-应变关系的几何场理论，科学出版社，2017,6)。波动方程论题将另行论述。特此告知对物性方程感兴趣的研究者。核心是：构形应力，弹塑性演化。其它为必要的基础理论性论述。
来源：本文来自肖建华科学网博客
作者：肖建华，河南理工大学教授
页:
[1]