变分法原理及其应用
本帖最后由 VibInfo 于 2016-3-23 16:01 编辑一、变分法原理简介
(一)固定边界点的变分问题
在高等数学中讨论过函数的极值问题，这里将扼耍讨论更为广泛的一类极值问题，称为泛函的极值问题。后者的一些思路以及运算方式与函数的极值问题十分相似。下面我们以“最速下降线问题”为例来说明泛函的基本性质。例如在任一铅垂平面xy中，指定A、B两点， 如图3一1所示。要求在两点间连接一条曲线使得重球自A点沿此曲线白由·下滑时，从A到B所需的时间为最小(忽略摩擦力)。 从直观上看，由于A、B
间的直线距离最短，似乎重球沿此直线下滑至B所需的时间最少;实际上在A，B之间存在着某一曲线AB，虽然长度大于直线，然而重球沿此曲线下滑时，其速度较大因此到达B点时所需时间最少。假设
所求的曲线为y(：)，它经过A，B两点：
A点 x=a. y=α
B点 x=b， y=β
设重球经过曲线上任一点p(x，y)时的速度为v，由能量守恒原理可得：1/2mv^2=mgy其中g为重力加速度。由此得到
v=(2gy)^0.5令ds为曲线的微分弧长，于是
ds/dt=v
所以：dt=ds/v
因此重球自A下沿至B所需的时间T为，
T=§ds/v(§表示积分，呵呵)
以上所讨论的最速下降线问题，可表示成如下的数学问题：在a<=x<=b的区间内找一个函数y(x)，使它满足边界条件(3.1)，并使(3.2)定义的T取最小值。
自式(3—2)可以看出，T值随函数y(x)的变化而变化，这些可变化的函数y(x)称为自变函级依赖于自变函数而变的量T，则称为自变函数y(x)的泛函。 目前所求的自变函数y(x)需满足固定边界条件(3.1这样的变分问题称作为固定边界的变分问题。
出以上讨论可知，在一般情况下满足边界条件(3.1的泛函T可以写成如下的形式：
T=§F(x,y,y')dx
当日变量x不变而仅仅由于曲线y(x)的无穷小变化而引起的纵坐标的增加称为自变函数y(x)的变分，记为δy;其次，当曲线y(x)不久由于自变量x的变化dx所引起的纵坐标的增加则以常用的丙数微分符号dy表示。由于这两个纵坐标是相等的，因而
(δy)’=δy’
上式表明，一个函数的微分运算与变分运算的顺序是可以交换的。在做变分运算时，这一公式是经常用到的。
二、参变量变分原理及其应用“，
(一)参变量变分原理简介
参变量变分原理是求解待定边(界)值问题的一种现代变分法。它不受Drucker稳定性假设的制约，能适用于经典变分原理所不能求解的问题，这种方法可简便地用于求解强化、理想弹塑性以及软化材料的弹塑性问题。在阐述这一原理之前，首先将所涉及的有关弹塑性理论作一简要回顾。
1. 屈服面、加载面、流动法则与状态方程
在单向拉压时，初始弹性状态的界限，是以拉伸及压缩屈服极限σx表示，在复杂应力状态下，弹性状态的极限就以屈服条件F(σ)=o表示，其中σ表示应力向量[σx,σy,σz,τxy,τyz,τzx]'。屈服条件在应力空间中所对应的面，称为屈服面。当应力点σ位于屈服面之内时(F(σ) F(σ,εp,k)=o (3—60)
出于参数k还明显地反映出材料的硬化程度因此常称为强化参数。 加载面上的点进一步所产生的塑性应变的方向，亦即塑性应变增量dεp的方向，可由经过该点的塑性势面来确定。一般认为理性应变增量dεp与通过该点的塑性势面g(σ，εp，k)互相正交因而dεp与塑性势面g之间具有下述关系：
d{εp}=λdg/dσ
其中A是待定的塑性流动比例因子，简称为流动参数，它是非负的参数，即满足>o的条件。
出式(3—61)所确定的关系称作为“正交法则”或“流动法则”。当塑性势顶g与加载面f重合时，即g=f，则
式(3—61)称为相关联的流动法则，当g≠f时，则称为非关联的流动法则。
2. 弹塑性边值问题以及状态变量和参数变量概念
假设在某一加载阶段，巳求得σ，ε，u(u为位移向量)。在此基础上使外载增加某一增量，即在Ω内给定体力增量db，在应力边界Sp以及位移边界Sx。分别给定四力增量dP，位移增量d u，现要求应力增量dσ。，应变增量dε仕移增量du满足以下方程与边界条件，
(1)平衡方程
(2)应变与位移关系
(3)边界条件
(41状态方程
3. 参变量最小势能原理
与弹性力学中的变分原理相似，在gp、塑性变分原理中也需定义一个弹塑性系统的总势能H如下：
泛函H具有以下两个重要性质：
性质1：在所有满足应变位移关系(3一r5)和位移边界条件(3—77)的一切可能位移中，只有满足状态方程并
佼泛函变分别=o的位移才是所求的真实解。
性质2：在满足性质1所述条件的一切位移中，只有真实解才使泛函H具有极小值o这就是所谓的最小势能原理。
第三节 加权余量法
加权余量法的基本概念与基本方法
(一)加权余量法的基本概念
加权余量法(method of weighted residuals)是求解微分方程的一种数学方法，它可以从微分方程中直接求出近似解。因此，近来广泛地采用这种方法去求解各种工程问题中所涉及的一系列控制方程(微分方程或微分方程组)。求解时应选取一个试函数(trial function)。u作为控制方程的近似解，在u中既包含已确定的试函数项，也包括一些待定的系数或待定函数。因为u是近似解，因此 将u代入控制方程以及相应的边界条件时,一般情况下均不能满足而分别出现控制方程的“余量”Rl边界条件的“余量”Rb。显然,这些余量的积分∫vRldv以及∫Rbds也不为零(其中v为积分域，s为v的边界)，耍使上述余量在一定的含意下为零，常选用适当的函数Wi与Bi‘分别对Rr，和Rb加权并使加权后的函数的积分为零，即使∫vWRldv与∫Rbds为零，这样的处理便使余量R在加权与积分的意义下为零。解题过程中，利用这些表达式即可确定包含于试面数的所有未知系数，从而求出控制方程的近似解u。积分号中的Wi，与Bi‘称为权函数，解题中由于采用不同的加权函数，因而形成了不同的“加权余量法”。以下将介绍各种方法的具体内容。
(该部分请参阅《有限元与变分法基础》-王瑁成)
第四节 变分法、加权余量法在有限元与
边界元中的应用
一、变分法与加权余量法在有限元中的应用
(一)变分法在有限元中的应用
众所周知，采用直观方法建立弹性力学的有限元公式，其优点是易于理解，并便于初学者建立清晰的力学概念。但对于较为复杂的问题采用直观法建立中元的则度矩阵是有因难的，并不能给出有关收敛性
的证明。因此，这里将采用能量的变分原理来建立有限元的基本公式。为便于理解，首先顺序讨论以下基本概念。
1. 位移函数与单元应变和应力
采用有限单元法计算弹性力学中的平面问题时，应将这弹性体的横截面被分成苦干三角形(或其它形状)的单元，如图3—9所示。其中任一单元e的三个结点分别以i,j,m表示。
本帖最后由 VibInfo 于 2016-3-23 16:01 编辑
讲问题由简入繁就具备当老师的素质了
好像没有写完？ 这是哪本书上的呀？看着好眼熟哦，可就是想不起来了
楼主说清楚些，偶想稍稍研究一下，呵呵 讲得很清楚，是书上的吗？还是自己写得？ 这回有点明白了 介绍很清楚啊，谢谢 能不能接着讲啊？ 恩，和书里面的一样，看看书就成 自学总是一件艰难的事情
能有个人讨论就不一样了 写的不错好像在那见过
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